Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 7-1

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$3x^{2}e^{y}dx+\left(x^{3}e^{y}-1\right)dy=0$

Решение

Обозначим $M(x,y)=3x^{2}e^{y}$, $N(x,y)=x^{3}e^{y}-1$. Тогда

${\frac {\partial M(x,y)}{\partial y}}=3x^{2}e^{y}$;

${\frac {\partial N(x,y)}{\partial x}}=3x^{2}e^{y}$.

Поскольку ${\frac {\partial M(x,y)}{\partial y}}={\frac {\partial N(x,y)}{\partial x}}$ то данное уравнение представляет собой уравнение в полных дифференциалах, то есть существует функция $U(x,y)$ такая, что $dU=3x^{2}e^{y}dx+\left(x^{3}e^{y}-1\right)dy$. По определению дифференциала имеем: ${\frac {\partial U(x,y)}{\partial x}}=3x^{2}e^{y}$,- откуда получаем

$U=\int 3x^{2}e^{y}dx+\varphi (y)=e^{y}\int 3x^{2}dx+\varphi (y)=x^{3}e^{y}+\varphi (y)$, где $\varphi (y)$ — некоторая фукнция, зависящая от $y$.

Дифференцируя найденную функцию $U$ по переменной $y$ получим:

${\frac {\partial U(x,y)}{\partial y}}=x^{3}e^{y}+\varphi '(y)$ $(1)$

С другой стороны, из исходного уравнения следует, что

${\frac {\partial U(x,y)}{\partial y}}=x^{3}e^{y}-1$ $(2)$

Приравнивая $(1)$ и $(2)$ получаем дифференциальное уравнение для нахождения функции $\varphi (y)$:

$x^{3}e^{y}+\varphi '(y)=x^{3}e^{y}-1$;

$\varphi '(y)=-1$;

$\varphi (y)=\int -1dy=-y+E$, где $E$ — произвольная постоянная.

Таким образом, получаем $U(x,y)=x^{3}e^{y}-y+E$. Но поскольку дифференциал функции $U$ равен нулю (т.е. $dU=0$), то $U$ является постоянной, то есть $x^{3}e^{y}-y+E=D,$ где $D$ — постоянная. Полученное равенство можно переписать в виде Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^3 e^y-y=С,} где $C=D-E$ — произвольная постоянная.