Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 6-23

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Найти решение задачи Коши.

<math>y'+xy=(x-1)e^xy^2,\; y(0)=1</math>

Решение

Найдем сначала общее решение дифференциального уравнения

<math>y'+xy=(x-1)e^xy^2</math> <math>(0)</math>

<math>(0)</math> представляет собой дифференциально уравнение Бернулли. Поделим обе части равенства на <math>y^2</math>:

<math>\frac{y'}{y^2}+\frac{x}{y}=(x-1)e^x</math> <math>(1)</math>

Сделаем замену <math>z=\frac{1}{y}</math>. Тогда <math>z'=\frac{-y'}{y^2}</math> Подставляя данную замену в <math>(1)</math> получим

<math>-z'+xz=(x-1)e^x</math> <math>(2)</math>

Уравнение <math>(2)</math> ялвяется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать <math>z</math> в виде <math>z=uv</math>, где <math>u=u(x)</math>, <math>v=v(x)</math> — новые неизвестные функции. Тогда <math>z'=u'v+uv'</math>. Подставляя данную замену в <math>(2)</math> получим

<math>-u'v-uv'+xuv=(x-1)e^x</math>;

<math>-u'v-u(v'-xv)=(x-1)e^x</math> <math>(3)</math>

Найдем функцию <math>v</math> из условия <math>v'-xv=0</math>:

<math>v'=xv</math>;

<math>\frac{dv}{dx}=xv</math>;

<math>\frac{dv}{v}=xdx</math>;

Интегрируя обе части равенства находим <math>\ln|v|=\frac{x^2}{2}+C</math>, где <math>C</math> — произвольная постоянная. Поскольку в качестве <math>v</math> мы ищем любую функцию, для которой <math>v'-xv=0</math>, то можем положить <math>C=0</math>. Тогда выразив <math>v</math> получаем

<math>v=e^\frac{x^2}{2}</math>.

Подставим найденную функцию <math>v</math> в <math>(3)</math>. С учетом того, что <math>v'-xv=0</math> получаем:

<math>-u'e^\frac{x^2}{2}=(x-1)e^x</math>.

Выразим из последнего равенства <math>u'</math> и проинтегрируем обе части равенства:

<math>u'=-e^\frac{-x^2}{2}(x-1)e^x</math>;

<math>u=\int-e^\frac{-x^2}{2}(x-1)e^xdx=\int e^{\frac{-x^2}{2}+x}(1-x)dx=\int e^{\frac{-x^2}{2}+x}d\left(\frac{-x^2}{2}+x\right)=e^{\frac{-x^2}{2}+x}+C</math>, где <math>C</math> — произвольная постоянная.

Таким образом, <math>z=uv=\left(e^{\frac{-x^2}{2}+x}+C\right)e^\frac{x^2}{2}=e^x+Ce^\frac{x^2}{2}</math>. Вспоминая, что <math>z=\frac{1}{y}</math>, находим общее решение дифференциального уравнения <math>(0)</math>:

<math>\frac{1}{y}=e^x+Ce^\frac{x^2}{2}</math>;

<math>y=\frac{1}{e^x+Ce^\frac{x^2}{2}}</math> <math>(4)</math>

Из <math>(4)</math> найдем функцию, которая удовлетворяет условиям задачи Коши <math>y(0)=1</math>:

<math>1=\frac{1}{e^0+Ce^\frac{0^2}{2}}</math>;

<math>1=\frac{1}{1+C}</math>;

<math>1+C=1</math>;

<math>C=0</math>.

Таким образом, решением поставленной задачи Коши является функция <math>y=\frac{1}{e^x}=e^{-x}</math>.