Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 6-23

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Найти решение задачи Коши.

y'+xy=(x-1)e^xy^2,\; y(0)=1

Решение[править]

Найдем сначала общее решение дифференциального уравнения

y'+xy=(x-1)e^xy^2 (0)

(0) представляет собой дифференциально уравнение Бернулли. Поделим обе части равенства на y^2:

\frac{y'}{y^2}+\frac{x}{y}=(x-1)e^x (1)

Сделаем замену z=\frac{1}{y}. Тогда z'=\frac{-y'}{y^2} Подставляя данную замену в (1) получим

-z'+xz=(x-1)e^x (2)

Уравнение (2) ялвяется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать z в виде z=uv, где u=u(x), v=v(x) — новые неизвестные функции. Тогда z'=u'v+uv'. Подставляя данную замену в (2) получим

-u'v-uv'+xuv=(x-1)e^x;

-u'v-u(v'-xv)=(x-1)e^x (3)

Найдем функцию v из условия v'-xv=0:

v'=xv;

\frac{dv}{dx}=xv;

\frac{dv}{v}=xdx;

Интегрируя обе части равенства находим \ln|v|=\frac{x^2}{2}+C, где C — произвольная постоянная. Поскольку в качестве v мы ищем любую функцию, для которой v'-xv=0, то можем положить C=0. Тогда выразив v получаем

v=e^\frac{x^2}{2}.

Подставим найденную функцию v в (3). С учетом того, что v'-xv=0 получаем:

-u'e^\frac{x^2}{2}=(x-1)e^x.

Выразим из последнего равенства u' и проинтегрируем обе части равенства:

u'=-e^\frac{-x^2}{2}(x-1)e^x;

u=\int-e^\frac{-x^2}{2}(x-1)e^xdx=\int e^{\frac{-x^2}{2}+x}(1-x)dx=\int e^{\frac{-x^2}{2}+x}d\left(\frac{-x^2}{2}+x\right)=e^{\frac{-x^2}{2}+x}+C, где C — произвольная постоянная.

Таким образом, z=uv=\left(e^{\frac{-x^2}{2}+x}+C\right)e^\frac{x^2}{2}=e^x+Ce^\frac{x^2}{2}. Вспоминая, что z=\frac{1}{y}, находим общее решение дифференциального уравнения (0):

\frac{1}{y}=e^x+Ce^\frac{x^2}{2};

y=\frac{1}{e^x+Ce^\frac{x^2}{2}} (4)

Из (4) найдем функцию, которая удовлетворяет условиям задачи Коши y(0)=1:

1=\frac{1}{e^0+Ce^\frac{0^2}{2}};

1=\frac{1}{1+C};

1+C=1;

C=0.

Таким образом, решением поставленной задачи Коши является функция y=\frac{1}{e^x}=e^{-x}.