Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 6-22

Условие задачи[править]

Найти решение задачи Коши.

2\left(y'+y\right)=xy^{2},\;y(0)=2

Решение[править]

2\left(y'+y\right)=xy^{2},\;y(0)=2

Найдем сначала общее решение дифференциального уравнения

$2\left(y'+y\right)=xy^{2}$ $(0)$

$(0)$ представляет собой дифференциально уравнение Бернулли. Поделим обе части равенства на $y^{2}$ и раскроем скобки:

${\frac {2y'}{y^{2}}}+{\frac {2}{y}}=x$ $(1)$

Сделаем замену $z={\frac {1}{y}}$ . Тогда $z'={\frac {-y'}{y^{2}}}$ Подставляя данную замену в $(1)$ получим

$-2z'+2z=x$ $(2)$

Уравнение $(2)$ ялвяется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать $z$ в виде $z=pq$ , где $p=p(x)$ , $q=q(x)$ — новые неизвестные функции. Тогда $z'=p'q+pq'$ . Подставляя данную замену в $(2)$ получим

$-2p'q-2pq'+2pq=x$ ;

$-2p'q-2p(q'-q)=x$ $(3)$

Найдем функцию $q$ из условия $q'-q=0$ :

$q'=q$ ;

${\frac {dq}{dx}}=q$ ;

${\frac {dq}{q}}=dx$ ;

Интегрируя обе части равенства находим $\ln |q|=x+C$ , где $C$ — произвольная постоянная. Поскольку в качестве $q$ мы ищем любую функцию, для которой $q'-q=0$ , то можем положить $C=0$ . Тогда выразив $q$ получаем

$q=e^{x}$ .

Подставим найденную функцию $q$ в $(3)$ . С учетом того, что $q'-q=0$ получаем:

$-2p'e^{x}=x$ .

Выразим из последнего равенства $p'$ и проинтегрируем обе части равенства:

$p'=-{\frac {1}{2}}xe^{-x}$ ;

$p=\int -{\frac {1}{2}}xe^{-x}dx=-{\frac {1}{2}}\int xe^{-x}dx$

Применим к полученному интегралу формулу интегрирования по частям, где $u=x$ , $dv=e^{-x}dx$ , $du=dx$ , $v=-e^{-x}$ :

$p=-{\frac {1}{2}}\left(-xe^{-x}-\int -e^{-x}dx\right)=-{\frac {1}{2}}\left(-xe^{-x}-e^{-x}-C\right)$ , где $C$ — произвольная постоянная.

Таким образом, $z=pq=-{\frac {1}{2}}\left(-xe^{-x}-e^{-x}-C\right)e^{x}={\frac {1}{2}}\left(x+1+Ce^{x}\right)$ . Вспоминая, что $z={\frac {1}{y}}$ , находим общее решение дифференциального уравнения $(0)$ :