Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 6-12

Условие задачи

Найти решение задачи Коши.

$3x\cdot y'+5y=(4x-5)\cdot y^{4},\ y(1)=1$

Решение

$3x\cdot y'+5y=(4x-5)\cdot y^{4}$

$y'+{\frac {5y}{3x}}={\frac {4x-5}{3x}}\cdot y^{4}$

${\frac {1}{y^{4}}}\cdot y'+{\frac {5}{3x\cdot y^{3}}}={\frac {4x-5}{3x}}$

Замена:

$z={\frac {1}{y^{3}}}\Rightarrow z'=-{\frac {3}{y^{4}}}\cdot y'\Rightarrow {\frac {1}{y^{4}}}\cdot y'=-{\frac {1}{3}}\cdot z'$

Получаем:

$-{\frac {1}{3}}\cdot z'+{\frac {5z}{3x}}={\frac {4}{3}}-{\frac {5}{3x}}$

Замена:

$z=u\cdot v\Rightarrow z'=u'\cdot v+v'\cdot u$

$-{\frac {1}{3}}\cdot \left(u'\cdot v+v'\cdot u\right)+{\frac {5u\cdot v}{3x}}={\frac {4}{3}}-{\frac {5}{3x}}$

$-{\frac {1}{3}}\cdot u'\cdot v-{\frac {u}{3}}\cdot \left(v'-{\frac {5\cdot v}{x}}\right)={\frac {4}{3}}-{\frac {5}{3x}}$

Пусть:

$v'-{\frac {5\cdot v}{x}}=0$

${\frac {dv}{dx}}={\frac {5\cdot v}{x}}$

${\frac {dv}{v}}={\frac {5dx}{x}}$

$\ln {|v|}=5\ln {|x|}$

$v=x^{5}$

Тогда:

$-{\frac {1}{3}}\cdot u'\cdot x^{5}={\frac {4}{3}}-{\frac {5}{3x}}$

${\frac {du}{dx}}=-{\frac {4}{x^{5}}}+{\frac {5}{x^{6}}}$

$du=\left(-{\frac {4}{x^{5}}}+{\frac {5}{x^{6}}}\right)\cdot dx$

$u=\int \left(-{\frac {4}{x^{5}}}+{\frac {5}{x^{6}}}\right)\cdot dx={\frac {1}{x^{4}}}-{\frac {1}{x^{5}}}+C$

Находим $z$:

$z=u\cdot v=\left({\frac {1}{x^{4}}}-{\frac {1}{x^{5}}}+C\right)\cdot x^{5}=x-1+C\cdot x^{5}$

Общее решение исходного уравнения:

${\frac {1}{y^{3}}}=x-1+C\cdot x^{5}$

Используя начальное условие, находим решение задачи Коши:

${\frac {1}{1^{3}}}=1-1+C\cdot 1^{5}$

$1=1-1+C$

$C=1$

Частное решение:

${\frac {1}{y^{3}}}=x-1+x^{5}$

или

$y={\frac {1}{\sqrt[{3}]{x-1+x^{5}}}}$