Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 5-20

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Решить задачу Коши.

dx=\left(\sin{y}+3\cos{y}+3x\right)dy,\; \left. y \right|_{x=e^{\pi / 2}}=\frac{\pi}{2} (1)

Решение[править]

Разделим обе части уравнения (1) на dy. Получим уравнение

\frac{dx}{dy}=\sin{y}+3\cos{y}+3x или

x'-3x=\sin{y}+3\cos{y} (2)

Уравнение (2) представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения (2) будем искать в виде x=x_g+x_p, где x_g является общим решением соответствующего однородного уравнения, а x_p — частное решение уравнения (2).

Найдём корни характеристического многочлена, соответствующего уравнению x'-3x=0:

k-3=0;

k=3.

Следовательно, общим решением однородного уравнения является функция x_g=Ce^{3y}, где C — произвольная постоянная. Частное решение уравнения (2) будем искать в виде x_p=A\sin{y}+B\cos{y}. Тогда x'_p=A\cos{y}-B\sin{y}. Подставляя x_p и x'_p в уравнение (2) получим

A\cos{y}-B\sin{y}-3(A\sin{y}+B\cos{y})=\sin{y}+3\cos{y}; A\cos{y}-B\sin{y}-3A\sin{y}-3B\cos{y}=\sin{y}+3\cos{y} (3)

Приравнивая в (3) коэффициенты при одинаковых функциях в обеих частях равенства, получаем систему линейных алгебраических уравений для нахождения A и B:

\left\{
\begin{array}{c}
A-3B=3;\\
-B-3A=1.
\end{array}
\right.

Решением данной системы являются A=0, B=-1, и частное решение уравнения (2) имеет вид x_p=-\cos{y}.

Таким образом, общим решением уравнения (2) является функция x=Ce^{3y}-\cos{y}. Из общего решения найдём то, которое удовлетворяет условию \left. y \right|_{x=e^{\pi / 2}}=\frac{\pi}{2}:

e^{\pi/2}=Ce^{3\cdot\frac{\pi}{2}}-\cos{\frac{\pi}{2}};

e^{\pi/2}=Ce^{\frac{3\pi}{2}};

C=e^{-\pi}.

Решением задачи Коши является функция x=e^{3y-\pi}-\cos{y}