Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 5-20

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Решить задачу Коши.

<math>dx=\left(\sin{y}+3\cos{y}+3x\right)dy,\; \left. y \right|_{x=e^{\pi / 2}}=\frac{\pi}{2}</math> <math>(1)</math>

Решение

Разделим обе части уравнения <math>(1)</math> на <math>dy</math>. Получим уравнение

<math>\frac{dx}{dy}=\sin{y}+3\cos{y}+3x</math> или

<math>x'-3x=\sin{y}+3\cos{y}</math> <math>(2)</math>

Уравнение <math>(2)</math> представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения <math>(2)</math> будем искать в виде <math>x=x_g+x_p</math>, где <math>x_g</math> является общим решением соответствующего однородного уравнения, а <math>x_p</math> — частное решение уравнения <math>(2)</math>.

Найдём корни характеристического многочлена, соответствующего уравнению <math>x'-3x=0</math>:

<math>k-3=0</math>;

<math>k=3</math>.

Следовательно, общим решением однородного уравнения является функция <math>x_g=Ce^{3y}</math>, где <math>C</math> — произвольная постоянная. Частное решение уравнения <math>(2)</math> будем искать в виде <math>x_p=A\sin{y}+B\cos{y}</math>. Тогда <math>x'_p=A\cos{y}-B\sin{y}</math>. Подставляя <math>x_p</math> и <math>x'_p</math> в уравнение <math>(2)</math> получим

<math>A\cos{y}-B\sin{y}-3(A\sin{y}+B\cos{y})=\sin{y}+3\cos{y}</math>; <math>A\cos{y}-B\sin{y}-3A\sin{y}-3B\cos{y}=\sin{y}+3\cos{y}</math> <math>(3)</math>

Приравнивая в <math>(3)</math> коэффициенты при одинаковых функциях в обеих частях равенства, получаем систему линейных алгебраических уравений для нахождения <math>A</math> и <math>B</math>:

<math>\left\{ \begin{array}{c} A-3B=3;\\ -B-3A=1. \end{array} \right.</math>

Решением данной системы являются <math>A=0</math>, <math>B=-1</math>, и частное решение уравнения <math>(2)</math> имеет вид <math>x_p=-\cos{y}</math>.

Таким образом, общим решением уравнения <math>(2)</math> является функция <math>x=Ce^{3y}-\cos{y}</math>. Из общего решения найдём то, которое удовлетворяет условию <math>\left. y \right|_{x=e^{\pi / 2}}=\frac{\pi}{2}</math>:

<math>e^{\pi/2}=Ce^{3\cdot\frac{\pi}{2}}-\cos{\frac{\pi}{2}}</math>;

<math>e^{\pi/2}=Ce^{\frac{3\pi}{2}}</math>;

<math>C=e^{-\pi}</math>.

Решением задачи Коши является функция <math>x=e^{3y-\pi}-\cos{y}</math>