Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 5-12

Условие задачи

Найти решение задачи Коши.

$\left(2\ln {y}-\ln ^{2}{y}\right)dy=y\cdot dx-x\cdot dy,\ \left.y\right|_{x=4}=e^{2}$

Решение

$\left(2\ln {y}-\ln ^{2}{y}\right)dy=y\cdot dx-x\cdot dy$

$2\ln {y}-\ln ^{2}{y}=y\cdot x'-x$

Полагаем:

$x=u\cdot v\Rightarrow x'=u'\cdot v+v'\cdot u$

Тогда:

$2\ln {y}-\ln ^{2}{y}=y\cdot \left(u'\cdot v+v'\cdot u\right)-u\cdot v$

$y\cdot u'\cdot v+y\cdot v'\cdot u-u\cdot v=2\ln {y}-\ln ^{2}{y}$

$y\cdot u'\cdot v+u\cdot \left(y\cdot v'-v\right)=2\ln {y}-\ln ^{2}{y}$

Пусть:

$y\cdot v'-v=0$

$y\cdot {\frac {dv}{dy}}=v$

${\frac {dv}{v}}={\frac {dy}{y}}$

$\ln {|v|}=\ln {|y|}$

$v=y$

До сих пор всё верно, а также верна ещё одна строчка:

$y\cdot u'\cdot y=2\ln ^{2}{y}$

Дальше ошибка - потерян сомножитель у, и всё остальное неверно. Продолжаю решение. u'y^2=2lny-(lny)^2; du=((2lny-(lny)^2)))/(y^2))*dy. После интегрирования: u = -1/y * 2lny - 2/y + 1/y * (lny)^2 + 1/y* 2lny + 2/y + C; u = 1/y* (lny)^2 +C. Ранее вычислено: v=y. Тогда: x = uv = (lny)^2 + Cy; x' = 1/y*lny +C. Решаем задачу Коши при начальных условиях: x=4; y=e^2. Находим С: 4=2^2 +Cy; С=0. Частное решение: x = (lny)^2. Это ответ. Были применены формулы неопределённых интегралов: int(1/z^2*lnz)= -1/z*(lnz) - 1/z + C; int(1/z^2*(lnz)^2)) = -1/z*(lnz)^2 - 2/z*lnz - 2/z + C. Прошу кого-нибудь исправить мою запись. --Spaits 00:42, 18 февраля 2011 (UTC)

Ниже оставлено без изменений ошибочное решение предыдущего автора.

$y\cdot u'\cdot y=2\ln {y}-\ln ^{2}{y}$

${\frac {du}{dy}}={\frac {2\ln {y}-\ln ^{2}{y}}{y}}$

$du={\frac {2\ln {y}-\ln ^{2}{y}}{y}}dy$

$u=\int {\frac {2\ln {y}-\ln ^{2}{y}}{y}}dy=\int \left(2\ln {y}-\ln ^{2}{y}\right)d\left(\ln {y}\right)=\ln ^{2}{y}-{\frac {1}{3}}\cdot \ln ^{3}{y}+C$

Тогда:

$x=u\cdot v=\left(\ln ^{2}{y}-{\frac {1}{3}}\cdot \ln ^{3}{y}+C\right)\cdot y$

Используя начальное условие, находим решение задачи Коши:

$4=\left(\ln ^{2}{\left(e^{2}\right)}-{\frac {1}{3}}\cdot \ln ^{3}{\left(e^{2}\right)}+C\right)\cdot e^{2}$

$4=\left(2^{2}-{\frac {1}{3}}\cdot 2^{3}+C\right)\cdot e^{2}$

$4=\left(4-{\frac {8}{3}}+C\right)\cdot e^{2}$

$4e^{-2}={\frac {12}{3}}-{\frac {8}{3}}+C$

$C=4e^{-2}-{\frac {4}{3}}$

Частное решение:

$x=\left(\ln ^{2}{y}-{\frac {1}{3}}\cdot \ln ^{3}{y}+4e^{-2}-{\frac {4}{3}}\right)\cdot y$