Условие задачи [ править ]
Найти решение задачи Коши.
y
′
+
y
x
=
sin
x
,
y
(
π
)
=
1
π
{\displaystyle y'+{\frac {y}{x}}=\sin {x},\;y(\pi )={\frac {1}{\pi }}}
Данное уравнение ялвяется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать неизвестную функцию в виде
y
=
p
q
{\displaystyle y=pq}
, где
p
=
p
(
x
)
{\displaystyle p=p(x)}
,
q
=
q
(
x
)
{\displaystyle q=q(x)}
— новые неизвестные функции. Тогда
y
′
=
p
′
q
+
p
q
′
{\displaystyle y'=p'q+pq'}
. Подставляя данную замену в исходное уравнение получим
p
′
q
+
p
q
′
+
p
q
x
=
sin
x
{\displaystyle p'q+pq'+{\frac {pq}{x}}=\sin {x}}
;
p
′
q
+
p
(
q
′
+
q
x
)
=
sin
x
{\displaystyle p'q+p(q'+{\frac {q}{x}})=\sin {x}}
(
1
)
{\displaystyle (1)}
Найдем функцию
q
{\displaystyle q}
из условия
q
′
+
q
x
=
0
{\displaystyle q'+{\frac {q}{x}}=0}
:
q
′
=
−
q
x
{\displaystyle q'=-{\frac {q}{x}}}
;
d
q
d
x
=
−
q
x
{\displaystyle {\frac {dq}{dx}}=-{\frac {q}{x}}}
;
d
q
q
=
−
d
x
x
{\displaystyle {\frac {dq}{q}}=-{\frac {dx}{x}}}
.
Проинтегрировав обе части равенства находим
ln
|
q
|
=
−
ln
|
x
+
1
|
+
C
{\displaystyle \ln |q|=-\ln |x+1|+C}
, где
C
{\displaystyle C}
— произвольная постоянная. Поскольку в качестве
q
{\displaystyle q}
мы ищем любую функцию, для которой
q
′
+
q
x
=
0
{\displaystyle q'+{\frac {q}{x}}=0}
, то можем положить
C
=
0
{\displaystyle C=0}
. Тогда выразив
q
{\displaystyle q}
получаем
q
=
x
−
1
{\displaystyle q=x^{-1}}
.
Подставим найденную функцию
q
{\displaystyle q}
в
(
1
)
{\displaystyle (1)}
. С учетом того, что
q
′
+
q
x
=
0
{\displaystyle q'+{\frac {q}{x}}=0}
получаем:
p
′
x
−
1
=
sin
x
{\displaystyle p'x^{-1}=\sin {x}}
.
Выразим из последнего равенства
p
′
{\displaystyle p'}
и проинтегрируем обе части равенства:
p
′
=
x
sin
x
{\displaystyle p'=x\sin {x}}
;
p
=
∫
x
sin
x
d
x
{\displaystyle p=\int x\sin {x}dx}
.
Применим к полученному интегралу формулу интегрирования по частям , где
u
=
x
{\displaystyle u=x}
,
d
v
=
sin
x
d
x
{\displaystyle dv=\sin {x}dx}
,
d
u
=
d
x
{\displaystyle du=dx}
,
v
=
−
cos
x
{\displaystyle v=-\cos {x}}
:
p
=
−
x
cos
x
−
∫
−
cos
x
d
x
=
−
x
cos
x
+
sin
x
+
C
{\displaystyle p=-x\cos {x}-\int -\cos {x}dx=-x\cos {x}+\sin {x}+C}
, где
C
{\displaystyle C}
— произвольная постоянная.
Таким образом, получили общее решение уравнения
y
=
p
q
=
(
−
x
cos
x
+
sin
x
+
C
)
⋅
1
x
{\displaystyle y=pq=\left(-x\cos {x}+\sin {x}+C\right)\cdot {\frac {1}{x}}}
.
Из общего решения найдем функцию, удовлетворяющую условию
y
(
π
)
=
1
π
{\displaystyle y(\pi )={\frac {1}{\pi }}}
:
1
π
=
(
−
π
cos
π
+
sin
π
+
C
)
⋅
1
π
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\left(-\pi \cos {\pi }+\sin {\pi }+C\right)\cdot {\frac {1}{\pi }}}
;
1
π
=
(
π
+
C
)
⋅
1
π
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\left(\pi +C\right)\cdot {\frac {1}{\pi }}}
;
1
=
π
+
C
{\displaystyle 1=\pi +C}
;
C
=
1
−
π
{\displaystyle C=1-\pi }
.
Следовательно, решением задачи Коши является функция
y
=
(
−
x
cos
x
+
sin
x
+
1
−
π
)
⋅
1
x
{\displaystyle y=\left(-x\cos {x}+\sin {x}+1-\pi \right)\cdot {\frac {1}{x}}}
.