Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 4-23

Материал из PlusPi

Условие задачи[править]

Найти решение задачи Коши.

Решение[править]

Данное уравнение ялвяется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать неизвестную функцию в виде , где , — новые неизвестные функции. Тогда . Подставляя данную замену в исходное уравнение получим

;

Найдем функцию из условия :

;

;

.

Проинтегрировав обе части равенства находим , где — произвольная постоянная. Поскольку в качестве мы ищем любую функцию, для которой , то можем положить . Тогда выразив получаем

.

Подставим найденную функцию в . С учетом того, что получаем:

.

Выразим из последнего равенства и проинтегрируем обе части равенства:

;

, где — произвольная постоянная.

Таким образом, получили общее решение уравнения .

Из общего решения найдем функцию, удовлетворяющую условию :

;

;

.

Следовательно, решением задачи Коши является функция .