Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 4-19

Условие задачи

Найти решение задачи Коши.

$y'+{\frac {3y}{x}}={\frac {2}{x^{3}}},\;y(1)=1$

Решение

Перед нами линейное уравнение первого порядка, которое имеет вид: $y'+p(X)y=r(x)$ Для начала сделаем замену: $y=uv$ где $u$ и $v$ некоторые, пока неизвестные функции, зависящие от $x$.

$y'=u'v+uv'$

$u'v+uv'+3uv/x=2/x^{3}$

$u'v+u(v'+3v/x)=2/x^{3}$

Теперь из уравнения находим $v$

$v'=-3v/x$

$dv/dx=-3v/x$

$\int (dv/v)=-3\int (dx/x)$

$v=1/x^{3}$

Подставляем в уравнение:

$u'(1/x^{3})=2/x^{3}$

$u=2\int (dx)=2x+C$ где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle С=const}

$y=uv=(2x+C)1/x^{3}$ общее решение получено.

$1=(2*1+C)1/1^{3}=>C=-1$

$y=(2x-1)1/x^{3}$ частное решение получено.