Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-20

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

<math>xy'=3\sqrt{2x^2+y^2} +y</math>

Решение

Поделим обе части равенства на <math>x</math>:

<math>y'=\frac{3\sqrt{2x^2+y^2} +y}{x}</math>;

<math>y'=\frac{3\sqrt{2x^2+y^2}}{x} +\frac{y}{x}</math>.

В последнем равенстве внесем <math>x</math> под корень:

<math>y'=3\sqrt{\frac{2x^2+y^2}{x^2}} +\frac{y}{x}</math>;

<math>y'=3\sqrt{2+\frac{y^2}{x^2}} +\frac{y}{x}</math>;

<math>y'=3\sqrt{2+\left(\frac{y}{x}\right)^2} +\frac{y}{x}\ </math> <math>\ (2)</math>

Поскольку удалось записать уравнение <math>(1)</math> в виде <math>y'=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)</math>, то данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение.

Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию <math>z=z(x)</math>, где <math>y=zx</math>. Тогда <math>y'=z'x+z</math>. Подставляя выражения <math>y</math> и <math>y'</math> через новую неизвестную функцию в <math>(2)</math> получим уравнение

<math>z'x+z=3\sqrt{2+z^2} +z</math>;

<math>z'x=3\sqrt{2+z^2}</math>

Из последнего уравнения выразим <math>z'</math>:

<math>z'=3\sqrt{2+z^2}\cdot\frac{1}{x}</math>

<math>\frac{dz}{dx}=3\sqrt{2+z^2}\cdot\frac{1}{x}</math> <math>(3)</math>

Как видим, <math>(3)</math> представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные в <math>(3)</math>. Для этого умножим обе части равенства <math>(3)</math> на <math>dx\cdot\frac{1}{\sqrt{2+z^2}}</math>:

<math>\frac{dz}{\sqrt{2+z^2}}=\frac{3}{x}dx</math> <math>(4)</math>

Проинтегрируем обе части равенства <math>(4)</math>:

<math>\int\frac{dz}{\sqrt{2+z^2}}=\int\frac{3}{x}dx</math>

Интегралы в последнем равенстве могут быть легко вычислены (хотя вычисления и займут довольно таки много времени). Например, интеграл в левой части равенства вычисляется заменой переменной <math>z</math> на косинус гиперболический, а интеграл в правой части равенства является табличным. В результате получим:

<math>\ln\left|z+\sqrt{2+z^2}\right|=3\ln|x|+\ln|C|</math>, где <math>C</math> — произвольная постоянная.

Используя свойства логарифмов можем упростить выражение:

<math>\ln\left|z+\sqrt{2+z^2}\right|=\ln|Cx^3|</math>;

<math>z+\sqrt{2+z^2}=Cx^3</math>.

Вспоминая, что <math>z=\frac{y}{x}</math> приходим к ответу:

<math>\frac{y}{x}+\sqrt{2+\left(\frac{y}{x}\right)^2}=Cx^3</math>

или, если домножить на <math>x</math> обе части равенства:

<math>y+\sqrt{2x^2+y^2}=Cx^4</math>