Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-20

Условие задачи

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

$xy'=3{\sqrt {2x^{2}+y^{2}}}+y$

Решение

Поделим обе части равенства на $x$:

$y'={\frac {3{\sqrt {2x^{2}+y^{2}}}+y}{x}}$;

$y'={\frac {3{\sqrt {2x^{2}+y^{2}}}}{x}}+{\frac {y}{x}}$.

В последнем равенстве внесем $x$ под корень:

$y'=3{\sqrt {\frac {2x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}+{\frac {y}{x}}$;

$y'=3{\sqrt {2+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}+{\frac {y}{x}}$;

$y'=3{\sqrt {2+\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}}}+{\frac {y}{x}}\$ $\ (2)$

Поскольку удалось записать уравнение $(1)$ в виде $y'=\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)$, то данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение.

Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию $z=z(x)$, где $y=zx$. Тогда $y'=z'x+z$. Подставляя выражения $y$ и $y'$ через новую неизвестную функцию в $(2)$ получим уравнение

$z'x+z=3{\sqrt {2+z^{2}}}+z$;

$z'x=3{\sqrt {2+z^{2}}}$

Из последнего уравнения выразим $z'$:

$z'=3{\sqrt {2+z^{2}}}\cdot {\frac {1}{x}}$

${\frac {dz}{dx}}=3{\sqrt {2+z^{2}}}\cdot {\frac {1}{x}}$ $(3)$

Как видим, $(3)$ представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные в $(3)$. Для этого умножим обе части равенства $(3)$ на $dx\cdot {\frac {1}{\sqrt {2+z^{2}}}}$:

${\frac {dz}{\sqrt {2+z^{2}}}}={\frac {3}{x}}dx$ $(4)$

Проинтегрируем обе части равенства $(4)$:

$\int {\frac {dz}{\sqrt {2+z^{2}}}}=\int {\frac {3}{x}}dx$

Интегралы в последнем равенстве могут быть легко вычислены (хотя вычисления и займут довольно таки много времени). Например, интеграл в левой части равенства вычисляется заменой переменной $z$ на косинус гиперболический, а интеграл в правой части равенства является табличным. В результате получим:

$\ln \left|z+{\sqrt {2+z^{2}}}\right|=3\ln |x|+\ln |C|$, где $C$ — произвольная постоянная.

Используя свойства логарифмов можем упростить выражение:

$\ln \left|z+{\sqrt {2+z^{2}}}\right|=\ln |Cx^{3}|$;

$z+{\sqrt {2+z^{2}}}=Cx^{3}$.

Вспоминая, что $z={\frac {y}{x}}$ приходим к ответу:

${\frac {y}{x}}+{\sqrt {2+\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}}}=Cx^{3}$

или, если домножить на $x$ обе части равенства:

$y+{\sqrt {2x^{2}+y^{2}}}=Cx^{4}$