Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 2-20

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

xy'=3\sqrt{2x^2+y^2} +y

Решение[править]

Поделим обе части равенства на x:

y'=\frac{3\sqrt{2x^2+y^2} +y}{x};

y'=\frac{3\sqrt{2x^2+y^2}}{x} +\frac{y}{x}.

В последнем равенстве внесем x под корень:

y'=3\sqrt{\frac{2x^2+y^2}{x^2}} +\frac{y}{x};

y'=3\sqrt{2+\frac{y^2}{x^2}} +\frac{y}{x};

y'=3\sqrt{2+\left(\frac{y}{x}\right)^2} +\frac{y}{x}\ \ (2)

Поскольку удалось записать уравнение (1) в виде y'=\varphi\left(\frac{y}{x}\right), то данное уравнение — однородное дифференциальное уравнение.

Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию z=z(x), где y=zx. Тогда y'=z'x+z. Подставляя выражения y и y' через новую неизвестную функцию в (2) получим уравнение

z'x+z=3\sqrt{2+z^2} +z;

z'x=3\sqrt{2+z^2}

Из последнего уравнения выразим z':

z'=3\sqrt{2+z^2}\cdot\frac{1}{x}

\frac{dz}{dx}=3\sqrt{2+z^2}\cdot\frac{1}{x} (3)

Как видим, (3) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные в (3). Для этого умножим обе части равенства (3) на dx\cdot\frac{1}{\sqrt{2+z^2}}:

\frac{dz}{\sqrt{2+z^2}}=\frac{3}{x}dx (4)

Проинтегрируем обе части равенства (4):

\int\frac{dz}{\sqrt{2+z^2}}=\int\frac{3}{x}dx

Интегралы в последнем равенстве могут быть легко вычислены (хотя вычисления и займут довольно таки много времени). Например, интеграл в левой части равенства вычисляется заменой переменной z на косинус гиперболический, а интеграл в правой части равенства является табличным. В результате получим:

\ln\left|z+\sqrt{2+z^2}\right|=3\ln|x|+\ln|C|, где C — произвольная постоянная.

Используя свойства логарифмов можем упростить выражение:

\ln\left|z+\sqrt{2+z^2}\right|=\ln|Cx^3|;

z+\sqrt{2+z^2}=Cx^3.

Вспоминая, что z=\frac{y}{x} приходим к ответу:

\frac{y}{x}+\sqrt{2+\left(\frac{y}{x}\right)^2}=Cx^3

или, если домножить на x обе части равенства:

y+\sqrt{2x^2+y^2}=Cx^4