Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 16-14

Условие задачи

Найти решение задачи Коши:

$y''-y'={\frac {e^{-x}}{2+e^{-x}}},\;y(0)=\ln {27},\;y'(0)=\ln {9}-1$

Решение

Характеристическое уравнение:

$k^{2}-k=0\;\Rightarrow \;k_{1}=0;\;k_{2}=1$

$y_{ob}=C_{1}\cdot e^{0}+C_{2}\cdot e^{x}=C_{1}+C_{2}\cdot e^{x}$

Частное решение будем искать методом вариации произвольных постоянных.

Пусть $C_{1}=C_{1}(x);\;C_{2}=C_{2}(x)$

$y_{1}=1;\;y_{1}'=0$

$y_{2}=e^{x};\;y_{2}'=e^{x}$

$f={\frac {e^{-x}}{2+e^{-x}}}$

${\begin{cases}C_{1}'\cdot y_{1}+C_{2}'\cdot y_{2}=0\\C_{1}'\cdot y_{1}'+C_{2}'\cdot y_{2}'=f\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}C_{1}'\cdot 1+C_{2}'\cdot e^{x}=0\\C_{2}'\cdot e^{x}={\frac {e^{-x}}{2+e^{-x}}}\end{cases}}$

$W={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}'&y_{2}'\end{vmatrix}}=y_{1}\cdot y_{2}'-y_{2}\cdot y_{2}'=e^{x}-e^{x}\cdot 0=e^{x}$

$C_{1}'={\frac {-y_{2}\cdot f}{W}}={\frac {-e^{x}\cdot {\frac {e^{-x}}{2+e^{-x}}}}{e^{x}}}={\frac {-1}{1+2e^{x}}}$

$C_{1}=\ln(1+2e^{x})-x+C_{3}$

$C_{2}'={\frac {y_{1}\cdot f}{W}}={\frac {1\cdot {\frac {e^{-x}}{2+e^{-x}}}}{e^{x}}}={\frac {1}{e^{x}+2e^{2x}}}$

$C_{2}=2\ln(2+e^{-x})+\mathrm {sh} \,x-\mathrm {ch} \,x+C_{4}$

$y=\ln(1+2e^{x})-x+C_{3}+\left(2\ln(2+e^{-x})+\mathrm {sh} \,x-\mathrm {ch} \,x+C_{4}\right)\cdot e^{x}$

$y'={\frac {1}{1+2e^{x}}}\cdot 2e^{x}-1+\left(2\cdot {\frac {1}{2+e^{-x}}}\cdot e^{-x}\cdot (-1)+\mathrm {ch} \,x-\mathrm {sh} \,x\right)\cdot e^{x}+\left(2\ln(2+e^{-x})+\mathrm {sh} \,x-\mathrm {ch} \,x+C_{4}\right)\cdot e^{x}$

${\begin{cases}y(0)=\ln 27\\y'(0)=\ln 9-1\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}\ln 3+C_{3}+(2\ln 3+0-1+C_{4})\cdot 1=3\ln 3\\{\frac {1}{3}}\cdot 2-1+\left(2\cdot {\frac {1}{3}}\cdot (-1)+1-0\right)+(2\ln 3+0-1+C_{4})=2\ln 3-1\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\begin{cases}C_{3}=1\\C_{4}=0\end{cases}}$

$y=\ln(1+2e^{x})-x+1+\left(2\ln(2+e^{-x})+\mathrm {sh} \,x-\mathrm {ch} \,x\right)\cdot e^{x}=$

$=\ln(1+2e^{x})-x+1+\left(2\ln(2+e^{-x})+{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}-{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)\cdot e^{x}=$

$=\ln(1+2e^{x})-x+1+\left(2\ln(2+e^{-x})-e^{-x}\right)\cdot e^{x}=$

$=\ln(1+2e^{x})-x+1+2e^{x}\cdot \ln(2+e^{-x})-1=$

$=\ln(1+2e^{x})-x+2e^{x}\cdot \ln(2+e^{-x})$