Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 13-27

Условие задачи

Найти общее решение дифференциального уравнения:

$y'''+2y''-3y'=(8x+6)e^{x}$

Решение

$y'''+2y''-3y'=(8x+6)e^{x}$ - линейное неоднородное дифференциальное уравнение
характеристическое уравнение
$k^{3}+2k^{2}-3k=0\Rightarrow k(k^{2}+2k-3)=0\Rightarrow k=-3;k=0;k=1;$
общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
$y_{0}=C_{1}e^{-3x}+C_{2}+C_{3}e^{x}$
частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
$y_{1}=x(ax+b)e^{x}$
${y_{1}}^{'}=(2ax+b)e^{x}+(ax^{2}+bx)e^{x}=(ax^{2}+2ax+bx+b)e^{x}$
${y_{1}}^{''}=(2ax+2a+b)e^{x}+(ax^{2}+2ax+bx+b)e^{x}=(ax^{2}+4ax+bx+2a+2b)e^{x}$
${y_{1}}^{'''}=(2ax+4a+b)e^{x}+(ax^{2}+4ax+bx+2a+2b)e^{x}=(ax^{2}+6ax+bx+6a+3b)e^{x}$
${y_{1}}^{'''}+2{y_{1}}^{''}-3{y_{1}}^{'}=(8x+6)e^{x}$
${y_{1}}^{'''}+2{y_{1}}^{''}-3{y_{1}}^{'}-(8x+6)e^{x}=0$
$(ax^{2}+6ax+bx+6a+3b)e^{x}+2(ax^{2}+4ax+bx+2a+2b)e^{x}-3(ax^{2}+2ax+bx+b)e^{x}-(8x+6)e^{x}=0$
$ax^{2}+6ax+bx+6a+3b+2ax^{2}+8ax+2bx+4a+4b-3ax^{2}-6ax-3bx-3b-8x-6=0$
$x^{2}(a+2a-3a)+x(6a+b+8a+2b-6a-3b-8)+6a+3b+4a+4b-3b-6=0$
$x(8a-8)+10a+4b-6=0\Rightarrow {\begin{cases}-6+10a+4b=0\\-8+8a=0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}a=1\\b=-1\end{cases}}$
$y_{1}=(x^{2}-x)e^{x}$
$y=y_{0}+y_{1}=C_{1}e^{-3x}+C_{2}+(C_{3}+x^{2}-x)e^{x}$