Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 13-14

Условие задачи

Найти общее решение дифференциального уравнения:

$y'''+y''-2y'=(6x+5)e^{x}$

Решение

$y'''+y''-2y'=(6x+5)e^{x}$

Составим характеристическое уравнение:

$k^{3}+k^{2}-2k=0$

$k\left(k^{2}+k-2\right)=0$

$k(k-1)(k+2)=0\Rightarrow k_{1}=0,\;k_{2}=1,\;k_{3}=-2$

Общее решение однородного уравнения:

$y_{o}=C_{1}+C_{2}\cdot e^{x}+C_{3}\cdot e^{-2x}$, $y_{o}$ - общее однородное решение

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: $y_{ch}=x(Ax+B)e^{x}$, $y_{ch}$ - частное решение.

$y'_{ch}=\left(Ax^{2}+Bx+2Ax+B\right)e^{x}$

$y''_{ch}=\left(Ax^{2}+Bx+4Ax+2B+2A\right)e^{x}$

$y'''_{ch}=\left(Ax^{2}+Bx+6Ax+3B+6A\right)e^{x}$

$\left(Ax^{2}+Bx+6Ax+3B+6A\right)e^{x}+\left(Ax^{2}+Bx+4Ax+2B+2A\right)e^{x}-$

$-\left(2Ax^{2}+2Bx+4Ax+2B\right)e^{x}=(6x+5)e^{x}$

$6Ax+8A+3B=6x+5$

$6Ax+8A+3B=6x+5$

${\begin{cases}6A=6\\8A+3B=5\end{cases}}\Rightarrow A=1,\;B=-1$

$y_{ch}=(x^{2}-x)e^{x}$

Общее решение исходного уравнения:

$y=C_{1}+\left(C_{2}+x^{2}-x\right)\cdot e^{x}+C_{3}\cdot e^{-2x}$