Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 12-3

Условие задачи

Найти общее решение дифференциального уравнения:

$y'''-y'=x^{2}+x$

Решение

Составим характеристическое уравнение однородного линейного уравнения, соответствующего данному.

$k^{3}-k=0$

$k(k^{2}-1)=0$

$k_{1}=0$, $k_{2}=1$, $k_{3}=-1$.

Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: $y_{o.o.}=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-x}$ Найдем частное решение неоднородного линейного уравнения.

$y_{1}=x(Ax^{2}+Bx+C)$

$y_{1}'=(Ax^{2}+Bx+C)+x(2Ax+B)=3Ax^{2}+2Bx+C$

$y_{1}''=6Ax+2B$

$y_{1}'''=6A$

Подставим найденные значения производных в исходное уравнение.

$6A-3Ax^{2}-2Bx-C=x^{2}+x$

$\left\{{\begin{matrix}-3A=1\\2B=1\\6A+C=0\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}A=-{\frac {1}{3}}\\B={\frac {1}{2}}\\C=2\end{matrix}}\right.$

Подставляем найденные значения коэффициентов в $y_{1}$. Получаем: $y_{1}=x\left({\frac {-x^{2}}{3}}+{\frac {x}{2}}+2\right)$ Общее решение линейного неоднородного д.у. - есть сумма общего решения однородного, ему соответствующего, и любого частного решения НЛДУ. Таким образом, искомое решение имеет вид:

$y=y_{o.o.}+y_{1}=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-x}+x\left({\frac {-x^{2}}{3}}+{\frac {x}{2}}+2\right)$