Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 12-28

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y^{IV}-6y'''+9y''=3x-1}

Решение[править]

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y^{IV}-6y'''+9y''=3x-1}
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение 4-го порядка.
Его решение является суммой общего решения однородного уравнения и
частного решения неоднородного уравнения:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_{OH}=y_{OO}+y_{4H} }
Найдем общее решение, для чего составим характеристическое уравнение:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k^4 -6 \cdot k^3 + 9 \cdot k^2 =0; \quad \Rightarrow \quad k^2 \cdot (k - 3)^2 = 0; \quad \Rightarrow \quad k_{1,2}=0;\quad k_{3,4}=3}
Тогда общее решение будет выглядеть:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_{OO} = C_1 + C_2 x + \left( C_3 + C_4 x \right) \cdot e^{3x}}
Теперь нам нужно найти частное решение линейного неоднородного уравнения.
Будем искать его в следующем виде:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_{4H} = x^2 \cdot (Ax^2+Bx+C) = Ax^4+Bx^3+Cx^2}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y' = 4Ax^3+3Bx^2+2Cx}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y''= 12Ax^2+6Bx+2C }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y''' = 24Ax+6B }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y^{IV} = 24A }
Подставив полученные выражения в исходное:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y^{IV}-6y'''+9y''=3x-1}
получим:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 24A - 6 \cdot (24Ax +6B) + 9 \cdot (12Ax^2+6Bx+2C) = 3x-1 }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 24A -144Ax -36B +108Ax^2 +54Bx +18C = 3x-1 }
Получим следующие значения коэффициентов:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 108A = 0; \quad A = 0}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -144A + 54B = 3; \quad B = \frac{1}{18}}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 24A - 36B + 18C = -1; \quad C = \frac{1}{18}}
Тогда частное решение будет выглядеть:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_{4H} = \left(0\cdot x^2 +\frac{1}{18}x+\frac{1}{18}\right) \cdot x^2= \frac{x^2}{18}\cdot \left(x+1\right)}
Полное решение дифференциального уравнения будет следующим:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_{OH} = C_1 + C_2 x + \left( C_3 + C_4 x \right) \cdot e^{3x} + \frac{x^2}{18}\cdot \left(x+1\right)}