Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 11-1

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Найти решение задачи Коши:

<math>4y^3 y=y^4-1,\; y(0)=\sqrt{2},\; y'(0)=\frac{1}{2\sqrt{2}}</math>

Решение[править]

<math>y' = Z(y)</math>
<math>y = Z'(y) \cdot Z(y)</math>
<math>4y^3 Z_{y}' \cdot Z = y^4 - 1</math>
<math>Z_{y}' \cdot Z = \frac{1}{4}y - \frac{1}{4y^3}</math>
<math>\frac{\partial Z}{\partial y} \cdot Z=\frac{1}{4}y - \frac{1}{4y^3}</math>
<math>\int Z\,\partial Z = \int \left( \frac{1}{4}y - \frac{1}{4y^3} \right)\,\partial y</math>
<math>\frac{1}{2}Z^2 = \frac{1}{8}y^2 + \frac{1}{8y^2} + C_1</math>
<math>Z^2 = \frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4y^2} + 2C_1</math>
<math>Z^2 = {\left( y' \right)}^2</math>
<math>{\left( y' \right)}^2 = \frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4y^2} +2C_1</math>
<math>\frac{1}{8} = \frac{2}{4} + \frac{1}{8} + 2C_1 \quad \Rightarrow \quad C_1 = -\frac{1}{4}</math>
<math>\begin{align}y' & = \frac{1}{2}\sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2} - 2}\\ & = \frac{\sqrt{y^4 - 2y^2 + 1}}{2y}\\ & = \frac{\sqrt{{\left( y^2 - 1 \right)}^2}}{2y}\\ & = \frac{y^2 - 1}{2y}

\end{align}</math>

<math>y' = \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 1}{2y}</math>
<math>\int \frac{2y}{y^2 - 1}\,dy = \int dx</math>
<math>\ln \left| y^2 - 1 \right| = x + C_2</math>
<math>x = 0\qquad y = \sqrt{2}</math>
<math>\ln | 2 - 1| = 0 + C_2 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 0</math>
<math>\ln \left| y^2 - 1 \right| = x</math>