Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 10-10

Условие задачи

Найти общее решение дифференциального уравнения:

$y'''\cdot \operatorname {cth} {2x}=2y''$

Решение

Это дифференциальное уравнение 3-го порядка. Оно не содержит в явном виде $y$ и первой производной от $y$. Таким образом, данное дифференциальное уравнение допускает понижение степени с помощью следующей замены переменной:

$z=y''$

$z'=y'''$

Тогда уравнение будет выглядеть так:

$z'\operatorname {cth} {(2x)}=2z$

Преобразуем данное уравнение, учитывая, что $z'={\frac {dz}{dx}}$:

${\frac {dz}{z}}={\frac {2\operatorname {sh} {(2x)}\,dx}{\operatorname {ch} {(2x)}}}$

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем левую и правую части:

$\int {\frac {dz}{z}}=\int {\frac {2\operatorname {sh} {(2x)}\,dx}{\operatorname {ch} {(2x)}}}\Rightarrow \ln {|z|}=\ln {|\operatorname {ch} {2x}|+C}\Rightarrow z=A\,\operatorname {ch} {(2x)}\Rightarrow$

$\Rightarrow y'=A\int {\operatorname {ch} {(2x)}\,dx}={\frac {A}{2}}\operatorname {sh} {(2x)}+B\Rightarrow y=\int {({\frac {A}{2}}\operatorname {sh} {(2x)}+B)dx}\Rightarrow$

$\Rightarrow y={\frac {A}{2}}\operatorname {ch} {(x)}+Bx+D$

В этом уравнении $A$, $B$ и $D$ - произвольные константы.