Задача Кузнецов Графики 9-20

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Провести полное исследование функций и построить их графики.

<math>y=\sqrt[3]{(x-3)x^2}</math>

Решение

1) Область определения:

<math>D(y)=(-\infty;+\infty).</math>

2) Четность функции:

Функция ни четная ни нечетная.
<math>y(-x)=\sqrt[3]{(-x-3)(-x)^2}=-\sqrt[3]{(x+3)x^2} \ne \pm y(x).</math>

3) Пересечение с осями:

<math>ox: \quad \sqrt[3]{(x-3)x^2}=0; \Longrightarrow \begin{cases} x=3, \\ x=0. \end{cases}</math>
<math>oy: \quad y(0)=\sqrt[3]{(0-3)0^2}=0.</math>

4) Точки разрыва:

Точек разрыва нет, т.к. <math>D(y)=(-\infty;+\infty).</math>

5) Асимптоты:

а) Вертикальные:
Вертикальных асимптот нет.
б) Наклонные:
<math>y=kx+b.</math>
<math>k= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x}
       = \lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac{\sqrt[3]{(x-3)x^2}}{x} \right) 
       = \lim_{x \to \pm \infty} \left(\sqrt[3]{1-\frac{3}{x}}\right)
       = \left\{1-0\right\}=1.</math>
<math>b= \lim_{x \to \infty} (y(x)-kx)
       =\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{(x-3)x^2}-x\right)=</math>
<math> =\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt[3]{(x-3)x^2}-x\right)\left(\sqrt[3]{(x-3)^2x^4}+x\sqrt[3]{(x-3)x^2}+x^2\right)}{\sqrt[3]{(x-3)^2x^4}+x\sqrt[3]{(x-3)x^2}+x^2}\right)=</math>
<math>= \lim_{x \to \infty}\left(\frac{(x-3)x^2-x^3}{\sqrt[3]{(x-3)^2x^4}+x\sqrt[3]{(x-3)x^2}+x^2}\right)
      = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{-3x^2}{x^2\left(\sqrt[3]{\left(\frac{x-3}{x}\right)^2}+\sqrt[3]{\frac{x-3}{x}}+1\right)}\right)=</math>
<math>=\lim_{x \to \infty}\left( \frac{-3}{\sqrt[3]{1-\frac{9}{x^2}}+\sqrt[3]{1-\frac{3}{x}}+1}\right)
      =\left\{\frac{-3}{\sqrt[3]{1-0}+\sqrt[3]{1-0}+1} \right\}=\left\{\frac{-3}{3}\right\}=-1.</math>
<math>y=x-1</math> - наклонная асимптота.

6) Точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности):

<math> y'= \left((x^3-3x^2)^{\frac{1}{3}} \right)'
         = \frac{1}{3} \cdot (x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (x^3-3x^2)'
         = \frac{1}{3} \cdot (x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (3x^2-6x) = </math>
<math> = \frac{3x^2-6x}{3\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}}
         = \frac{x-2}{\sqrt[3]{(x-3)^2x}}.</math>
При <math>y'=0: x=2.</math>
При <math>\begin{cases} x=3, \\ x=0; \end{cases} - y'</math> - не существует.
Extremum 3-9-20.png
На интервале <math>(-\infty;0) \cup (2;3) \cup (3;+\infty)</math> - функция возрастает <math>(y'>0);</math>
На интервале <math>(0;2)</math> - функция убывает <math>(y'<0).</math>
<math>y(0)=0;</math>
<math>y(2)=\sqrt[3]{-4} \approx -1{,}59;</math>
<math>y(3)=0.</math>
<math>(2;\sqrt[3]{4}) - min;</math>
<math>(0;0) - max.</math>

7) Точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости:

<math>y=\left(\frac{1}{3} \cdot (x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (3x^2-6x)\right)' = </math>
<math>=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}(x^3-3x^2)^{-\frac{5}{3}}(3x^2-6x)(3x^2-6x)+(x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}}(6x-6)\right) = </math>
<math>=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\cdot\frac{(3x^2-6x)^2}{\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^5}}+\frac{6x-6}{\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}}\right)=</math>
<math>=\frac{-2(3x^2-6x)^2+3(6x-6)(x^3-3x^2)}{9\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^5}} = </math>
<math>=\frac{18x^2(x-1)(x-3)-18x^2(x-2)^2}{9(x^3-3x^2)\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}} = </math>
<math>=\frac{18x^2( (x^2-x-3x+3)-(x^2-2x-2x+4) )}{9x^2(x-3x)\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}} = </math>
<math>=-\frac{2}{(x-3)\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}}.</math>
При <math>\begin{cases} x=0, \\ x=3; \end{cases} - y</math> - не существует.
Peregib 3-9-20.png
На интервале <math>(-\infty;0) \cup (0;3)</math> - функция вогнутая <math>(y>0);</math>
На интервале <math>(3;+\infty)</math> - функция выпуклая <math>(y<0).</math>
<math>x=3</math> - точка перегиба.

8)График функции:

Graf 3-9-20.png