Задача Кузнецов Графики 9-20

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Провести полное исследование функций и построить их графики.

y=\sqrt[3]{(x-3)x^2}

Решение[править]

1) Область определения:

D(y)=(-\infty;+\infty).

2) Четность функции:

Функция ни четная ни нечетная.
y(-x)=\sqrt[3]{(-x-3)(-x)^2}=-\sqrt[3]{(x+3)x^2} \ne \pm y(x).

3) Пересечение с осями:

ox: \quad \sqrt[3]{(x-3)x^2}=0; \Longrightarrow \begin{cases} x=3, \\ x=0. \end{cases}
oy: \quad y(0)=\sqrt[3]{(0-3)0^2}=0.

4) Точки разрыва:

Точек разрыва нет, т.к. D(y)=(-\infty;+\infty).

5) Асимптоты:

а) Вертикальные:
Вертикальных асимптот нет.
б) Наклонные:
y=kx+b.
k= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x}
        = \lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac{\sqrt[3]{(x-3)x^2}}{x} \right) 
        = \lim_{x \to \pm \infty} \left(\sqrt[3]{1-\frac{3}{x}}\right)
        = \left\{1-0\right\}=1.
b= \lim_{x \to \infty} (y(x)-kx)
        =\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{(x-3)x^2}-x\right)=
 =\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt[3]{(x-3)x^2}-x\right)\left(\sqrt[3]{(x-3)^2x^4}+x\sqrt[3]{(x-3)x^2}+x^2\right)}{\sqrt[3]{(x-3)^2x^4}+x\sqrt[3]{(x-3)x^2}+x^2}\right)=
= \lim_{x \to \infty}\left(\frac{(x-3)x^2-x^3}{\sqrt[3]{(x-3)^2x^4}+x\sqrt[3]{(x-3)x^2}+x^2}\right)
       = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{-3x^2}{x^2\left(\sqrt[3]{\left(\frac{x-3}{x}\right)^2}+\sqrt[3]{\frac{x-3}{x}}+1\right)}\right)=
=\lim_{x \to \infty}\left( \frac{-3}{\sqrt[3]{1-\frac{9}{x^2}}+\sqrt[3]{1-\frac{3}{x}}+1}\right)
       =\left\{\frac{-3}{\sqrt[3]{1-0}+\sqrt[3]{1-0}+1} \right\}=\left\{\frac{-3}{3}\right\}=-1.
y=x-1 - наклонная асимптота.

6) Точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности):

 y'= \left((x^3-3x^2)^{\frac{1}{3}} \right)'
          = \frac{1}{3} \cdot (x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (x^3-3x^2)'
          = \frac{1}{3} \cdot (x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (3x^2-6x) =
   = \frac{3x^2-6x}{3\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}}
          = \frac{x-2}{\sqrt[3]{(x-3)^2x}}.
При y'=0: x=2.
При \begin{cases} x=3, \\ x=0; \end{cases} - y' - не существует.
Extremum 3-9-20.png
На интервале (-\infty;0) \cup (2;3) \cup (3;+\infty) - функция возрастает (y'>0);
На интервале (0;2) - функция убывает (y'<0).
y(0)=0;
y(2)=\sqrt[3]{-4} \approx -1{,}59;
y(3)=0.
(2;\sqrt[3]{4}) - min;
(0;0) - max.

7) Точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости:

y''=\left(\frac{1}{3} \cdot (x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (3x^2-6x)\right)' =
=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}(x^3-3x^2)^{-\frac{5}{3}}(3x^2-6x)(3x^2-6x)+(x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}}(6x-6)\right) =
=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\cdot\frac{(3x^2-6x)^2}{\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^5}}+\frac{6x-6}{\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}}\right)=
=\frac{-2(3x^2-6x)^2+3(6x-6)(x^3-3x^2)}{9\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^5}} =
=\frac{18x^2(x-1)(x-3)-18x^2(x-2)^2}{9(x^3-3x^2)\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}} =
=\frac{18x^2( (x^2-x-3x+3)-(x^2-2x-2x+4) )}{9x^2(x-3x)\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}} =
=-\frac{2}{(x-3)\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}}.
При \begin{cases} x=0, \\ x=3; \end{cases} - y'' - не существует.
Peregib 3-9-20.png
На интервале (-\infty;0) \cup (0;3) - функция вогнутая (y''>0);
На интервале (3;+\infty) - функция выпуклая (y''<0).
x=3 - точка перегиба.

8)График функции:

Graf 3-9-20.png