Задача Кузнецов Графики 9-20

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Провести полное исследование функций и построить их графики.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=\sqrt[3]{(x-3)x^2}}

Решение[править]

1) Область определения:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D(y)=(-\infty;+\infty).}

2) Четность функции:

Функция ни четная ни нечетная.
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(-x)=\sqrt[3]{(-x-3)(-x)^2}=-\sqrt[3]{(x+3)x^2} \ne \pm y(x).}

3) Пересечение с осями:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ox: \quad \sqrt[3]{(x-3)x^2}=0; \Longrightarrow \begin{cases} x=3, \\ x=0. \end{cases}}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle oy: \quad y(0)=\sqrt[3]{(0-3)0^2}=0.}

4) Точки разрыва:

Точек разрыва нет, т.к. Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D(y)=(-\infty;+\infty).}

5) Асимптоты:

а) Вертикальные:
Вертикальных асимптот нет.
б) Наклонные:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=kx+b.}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac{\sqrt[3]{(x-3)x^2}}{x} \right) = \lim_{x \to \pm \infty} \left(\sqrt[3]{1-\frac{3}{x}}\right) = \left\{1-0\right\}=1.}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} (y(x)-kx) =\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{(x-3)x^2}-x\right)=}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt[3]{(x-3)x^2}-x\right)\left(\sqrt[3]{(x-3)^2x^4}+x\sqrt[3]{(x-3)x^2}+x^2\right)}{\sqrt[3]{(x-3)^2x^4}+x\sqrt[3]{(x-3)x^2}+x^2}\right)=}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{(x-3)x^2-x^3}{\sqrt[3]{(x-3)^2x^4}+x\sqrt[3]{(x-3)x^2}+x^2}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{-3x^2}{x^2\left(\sqrt[3]{\left(\frac{x-3}{x}\right)^2}+\sqrt[3]{\frac{x-3}{x}}+1\right)}\right)=}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\lim_{x \to \infty}\left( \frac{-3}{\sqrt[3]{1-\frac{9}{x^2}}+\sqrt[3]{1-\frac{3}{x}}+1}\right) =\left\{\frac{-3}{\sqrt[3]{1-0}+\sqrt[3]{1-0}+1} \right\}=\left\{\frac{-3}{3}\right\}=-1.}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=x-1} - наклонная асимптота.

6) Точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности):

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y'= \left((x^3-3x^2)^{\frac{1}{3}} \right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (x^3-3x^2)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (3x^2-6x) = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \frac{3x^2-6x}{3\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}} = \frac{x-2}{\sqrt[3]{(x-3)^2x}}.}
При Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y'=0: x=2.}
При Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} x=3, \\ x=0; \end{cases} - y'} - не существует.
Extremum 3-9-20.png
На интервале Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-\infty;0) \cup (2;3) \cup (3;+\infty)} - функция возрастает Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (y'>0);}
На интервале Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (0;2)} - функция убывает Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (y'<0).}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(0)=0;}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(2)=\sqrt[3]{-4} \approx -1{,}59;}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(3)=0.}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2;\sqrt[3]{4}) - min;}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (0;0) - max.}

7) Точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y''=\left(\frac{1}{3} \cdot (x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (3x^2-6x)\right)' = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}(x^3-3x^2)^{-\frac{5}{3}}(3x^2-6x)(3x^2-6x)+(x^3-3x^2)^{-\frac{2}{3}}(6x-6)\right) = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\cdot\frac{(3x^2-6x)^2}{\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^5}}+\frac{6x-6}{\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}}\right)=}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\frac{-2(3x^2-6x)^2+3(6x-6)(x^3-3x^2)}{9\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^5}} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\frac{18x^2(x-1)(x-3)-18x^2(x-2)^2}{9(x^3-3x^2)\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\frac{18x^2( (x^2-x-3x+3)-(x^2-2x-2x+4) )}{9x^2(x-3x)\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}} = }
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =-\frac{2}{(x-3)\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}}.}
При Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} x=0, \\ x=3; \end{cases} - y''} - не существует.
Peregib 3-9-20.png
На интервале Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-\infty;0) \cup (0;3)} - функция вогнутая Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (y''>0);}
На интервале Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (3;+\infty)} - функция выпуклая Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (y''<0).}
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=3} - точка перегиба.

8)График функции:

Graf 3-9-20.png