Условие задачи [ править ] Провести полное исследование функций и построить их графики.
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=\(x+1)sqrt[3]{x^2}}
1) Область определения:
D
(
y
)
=
(
−
∞
;
+
∞
)
.
{\displaystyle D(y)=(-\infty ;+\infty ).}
2) Четность функции:
Функция ни четная, ни нечетная, не периодичная.
y
(
−
x
)
=
(
−
x
)
2
(
−
x
−
4
)
2
3
=
x
2
(
x
+
4
)
2
3
≠
±
y
(
x
)
.
{\displaystyle y(-x)={\sqrt[{3}]{(-x)^{2}(-x-4)^{2}}}={\sqrt[{3}]{x^{2}(x+4)^{2}}}\neq \pm y(x).}
3) Пересечение с осями:
o
x
:
y
(
x
)
=
x
2
⋅
(
x
−
4
)
2
3
=
0
;
⟹
{
x
=
0
,
x
=
4.
{\displaystyle ox:\quad y(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}\cdot (x-4)^{2}}}=0;\Longrightarrow {\begin{cases}x=0,\\x=4.\end{cases}}}
o
y
:
y
(
0
)
=
0
2
⋅
(
0
−
4
)
2
3
=
0.
{\displaystyle oy:\quad y(0)={\sqrt[{3}]{0^{2}\cdot (0-4)^{2}}}=0.}
Интервалы знакопостоянства:
y
(
x
)
>
0
{\displaystyle y(x)>0}
x
∈
(
−
∞
;
0
)
∪
(
0
;
4
)
∪
(
4
;
∞
)
{\displaystyle x\in (-\infty ;0)\cup (0;4)\cup (4;\infty )}
A
1
(
0
,
0
)
;
A
2
(
4
,
0
)
{\displaystyle A_{1}(0,0)\;;A_{2}(4,0)}
4) Точки разрыва:
Точек разрыва нет, т.к.
D
(
y
)
=
(
−
∞
;
+
∞
)
.
{\displaystyle D(y)=(-\infty ;+\infty ).}
5) Асимптоты:
а) Вертикальные: Вертикальных асимптот нет.
б) Наклонные:
y
=
k
x
+
b
.
{\displaystyle y=kx+b.}
k
=
lim
x
→
±
∞
y
(
x
)
x
=
lim
x
→
±
∞
(
x
2
(
x
−
4
)
2
3
x
)
=
lim
x
→
±
∞
(
x
(
1
−
4
x
)
2
3
)
=
∞
⇒
{\displaystyle k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {y(x)}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {\sqrt[{3}]{x^{2}(x-4)^{2}}}{x}}\right)=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\sqrt[{3}]{x\left(1-{\frac {4}{x}}\right)^{2}}}\right)=\infty \Rightarrow }
Наклонных асимптот нет. 6) Точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности):
y
′
=
2
3
⋅
(
x
(
x
−
4
)
)
−
1
3
⋅
(
2
x
−
4
)
=
4
⋅
(
x
−
2
)
3
x
1
3
⋅
(
x
−
4
)
1
3
{\displaystyle y'={\frac {2}{3}}\cdot \left(x(x-4)\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot (2x-4)={\frac {4\cdot (x-2)}{3x^{\frac {1}{3}}\cdot (x-4)^{\frac {1}{3}}}}}
При
y
′
(
x
)
=
0
:
x
=
2.
{\displaystyle y'(x)=0:x=2.}
При
{
x
=
0
,
x
=
4
;
−
y
(
x
)
′
{\displaystyle {\begin{cases}x=0,\\x=4;\end{cases}}-y(x)'}
y
′
(
x
)
>
0
{\displaystyle ~y'(x)>0}
x
∈
(
0
;
2
)
∪
(
4
;
∞
)
⇒
y
(
x
)
{\displaystyle ~x\in (0;2)\cup (4;\infty )\Rightarrow y(x)}
x
∈
(
0
;
2
)
{\displaystyle ~x\in (0;2)}
x
∈
(
4
;
∞
)
{\displaystyle ~x\in (4;\infty )}
y
′
(
x
)
<
0
{\displaystyle ~y'(x)<0}
x
∈
(
−
∞
;
0
)
∪
(
2
;
4
)
⇒
y
(
x
)
{\displaystyle ~x\in (-\infty ;0)\cup (2;4)\Rightarrow y(x)}
x
∈
(
−
∞
;
0
)
{\displaystyle ~x\in (-\infty ;0)}
x
∈
(
2
;
4
)
{\displaystyle ~x\in (2;4)}
B
1
(
0
,
y
(
0
)
)
;
B
2
(
4
,
y
(
4
)
)
{\displaystyle B_{1}(0,y(0))\;;B_{2}(4,y(4))}
B
3
(
2
,
y
(
2
)
)
{\displaystyle B_{3}(2,y(2))}
7) Точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости:
y
″
=
4
3
⋅
(
x
2
−
4
x
)
1
3
−
(
x
−
2
)
⋅
1
3
(
x
2
−
4
x
)
−
2
3
⋅
(
2
x
−
4
)
x
2
3
⋅
(
x
−
4
)
2
3
=
{\displaystyle y''={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {(x^{2}-4x)^{\frac {1}{3}}-(x-2)\cdot {\frac {1}{3}}(x^{2}-4x)^{-{\frac {2}{3}}}\cdot (2x-4)}{x^{\frac {2}{3}}\cdot (x-4)^{\frac {2}{3}}}}=}
=
4
9
⋅
x
2
−
4
x
−
8
x
4
3
⋅
(
x
−
4
)
4
3
.
{\displaystyle ={\frac {4}{9}}\cdot {\frac {x^{2}-4x-8}{x^{\frac {4}{3}}\cdot (x-4)^{\frac {4}{3}}}}.}
y
″
=
0
;
⇒
x
=
2
⋅
(
1
±
3
)
;
{\displaystyle ~y''=0;\ \Rightarrow x=2\cdot (1\pm {\sqrt {3}});}
При
{
x
=
0
,
x
=
4
;
−
y
″
{\displaystyle {\begin{cases}x=0,\\x=4;\end{cases}}-y''}
y
″
>
0
{\displaystyle ~y''>0}
x
∈
(
−
∞
;
2
(
1
−
3
)
)
∪
(
2
(
1
+
3
)
;
∞
)
⇒
{\displaystyle ~x\in (-\infty ;2(1-{\sqrt {3}}))\cup (2(1+{\sqrt {3}});\infty )\;\Rightarrow }
На интервале
(
−
∞
;
2
(
1
−
3
)
)
∪
(
2
(
1
+
3
)
;
∞
)
{\displaystyle (-\infty ;2(1-{\sqrt {3}}))\cup (2(1+{\sqrt {3}});\infty )}
y
″
<
0
{\displaystyle ~y''<0}
x
∈
(
2
(
1
−
3
)
;
2
(
1
+
3
)
)
⇒
{\displaystyle ~x\in (2(1-{\sqrt {3}});2(1+{\sqrt {3}}))\;\Rightarrow }
На интервале
(
2
(
1
−
3
)
;
2
(
1
+
3
)
)
{\displaystyle (2(1-{\sqrt {3}});2(1+{\sqrt {3}}))}
C
1
(
2
(
1
−
3
)
,
y
(
2
(
1
−
3
)
)
)
{\displaystyle C_{1}(2(1-{\sqrt {3}}),y(2(1-{\sqrt {3}})))}
C
2
(
2
(
1
+
3
)
,
y
(
2
(
1
+
3
)
)
)
{\displaystyle C_{2}(2(1+{\sqrt {3}}),y(2(1+{\sqrt {3}})))}
8)График функции:
![{\displaystyle y(-x)={\sqrt[{3}]{(-x)^{2}(-x-4)^{2}}}={\sqrt[{3}]{x^{2}(x+4)^{2}}}\neq \pm y(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822c15fabab9f12f97a8eb4c52110a5e86926c3a)
![{\displaystyle ox:\quad y(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}\cdot (x-4)^{2}}}=0;\Longrightarrow {\begin{cases}x=0,\\x=4.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28bfac236500b9c91651c4ac61d049ff4a656f0a)
![{\displaystyle oy:\quad y(0)={\sqrt[{3}]{0^{2}\cdot (0-4)^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38661707669748b2584f984bb97e65635927218)
![{\displaystyle k=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {y(x)}{x}}=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {\sqrt[{3}]{x^{2}(x-4)^{2}}}{x}}\right)=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\sqrt[{3}]{x\left(1-{\frac {4}{x}}\right)^{2}}}\right)=\infty \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005fc6517613b6bfb8c1e65d7abb709f21f5e09b)
