Задача Кузнецов Графики 8-27

Условие задачи

Провести полное исследование функций и построить их графики.

$y=\ln {\frac {x-5}{x}}+2$

Решение

1) Область определения

$D(y)=(-\infty ;0)\cup (5;+\infty ).$

2) Четность функции

Функция ни четная, ни нечетная.

3) Пересечение с осями

$ox:\quad x={\frac {5e^{2}}{e^{2}-1}}.$

Точек пересечения с осью $oy$ нет.

4) Асимптоты

а) Вертикальные:

$x=0;\ x=5$ - вертикальные асимптоты, так как:

$\lim _{x\to 0-}\left(\ln {\frac {x-5}{x}}+2\right)=\left\{\ln {\frac {0-5}{0-}}+2=\ln {\left(+\infty \right)}+2\right\}=+\infty$

$\lim _{x\to 5+}\left(\ln {\frac {x-5}{x}}+2\right)=\left\{\ln {\frac {5-5}{5+}}+2=\ln {\left(0+\right)}+2\right\}=-\infty$

б) Наклонные:

$y=kx+b;$

$k=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {\ln {\frac {x-5}{x}}}{x}}+{\frac {2}{x}}\right)=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {\ln {\left(1-{\frac {5}{x}}\right)}}{x}}+{\frac {2}{x}}\right)=0.$

$b=\lim _{x\to \infty }\left(\ln {\frac {x-5}{x}}+2\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\ln {\left(1-{\frac {5}{x}}\right)}+2\right)=2.$

$y=2$ - горизонтальная асимптота.

5) Точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности):

$y'={\frac {x}{x-5}}\cdot (1-5x^{-1})'={\frac {x\cdot 5x^{-2}}{x-5}}={\frac {5}{x(x-5)}}.$

На интервале $\left(-\infty ;\ 0\right)\cup \left(5;\ +\infty \right)$ - функция возрастает.

Точек минимума (максимума) нет.

6) Точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости:

$y''=5{\frac {-(x^{2}-5x)'}{(x^{2}-5x)^{2}}}={\frac {25-10x}{(x^{2}-5x)^{2}}}.$

$y''=0,\quad x=2.5\notin D(y).$

На интервале $\left(-\infty ;\ 0\right)$ - функция вогнутая, на $\left(5;\ +\infty \right)$ - выпуклая.

Точек перегиба нет.