Задача Кузнецов Графики 7-10

Материал из PlusPi

Условие задачи[править]

Провести полное исследование функций и построить их графики.

Решение[править]

1.Из области определения исключаем точки, в которых знаменатель обращается в ноль. т.е. где x^2=0. следовательно, x=(-∞;0)u(0;+∞)


2.точки пересечения с осями координат

с Оу нету, т.к. x≠0 с Ох при y=0, или x=1. 3.y(-x)=(-x-1)^2/((-x)^2)=(x+1)^2/(x^2)≠(x-1)^2/(x^2)

4.Не периодическая.

5.y'=(2(x-1)*(x^2)-2x*((x-1)^2))/(x^4)=((2x^3-2x^2)-(2x^3-4x^2+2x))/(x^4)=(2x^2-2x)/(x^4)=2(x-1)/(x^3); y'=0 T.e. 2(x-1)=0 x=1 с учётом того, что х≠0 и х=1 получим

на отрезке (-∞;0) функция возрастает (т.к. например у'(-1)>0) на отрезке (0;1] функция убывает (т.к. например у'(1)<0) на отрезке [1;+∞)функция возрастает (y'(5)>0) т.о. у=0 при х=1 - точка минимума

6. у"=(2х^3- 3x^2*2(x-1))/(x^6)=(2x^3-6x^3+6x^2)/(x^6)=(-4х^3+6x^2)/(x^4)=(-4x+6)/(x^4) y">0 при -4x+6>0,T.e. x<1.5 кривая выпукла вниз y"<0 при х>1.5 - кривая выпукла вверх. и y"=0 при х=1.5 - точка перегиба.

7.Верт.ас-та: lim(x-1)^2/(x^2)=+∞ x->0 т.е. прямая х=0 - вертикальная ассимптота

Наклонная ассимптота: к=lim(x-1)^2/(x^3)=0 x->∞ b=lim(x-1)^2/(x^2)=1 x->∞ т.е. прямая у=1 - наклонная ассимптота

График: