Задача Кузнецов Графики 6-9

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Найти асимптоты и построить графики функций.

y=\frac{x^3-5x}{5-3x^2}

Решение[править]

y=\frac{x^3-5x}{5-3x^2}

1) Область определения

5-3x^2 \ne 0
x^2 \ne \frac{5}{3}
D(y)=\left(-\infty;-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\cup \left(-\sqrt{\frac{5}{3}};\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{5}{3}}; +\infty\right)

2) Четность функции

Функция является нечетной, т.к.:
y(-x)=\frac{(-x)^3-5\cdot (-x)}{5-3\cdot (-x)^2} = \frac{-x^3+5x}{5-3x^2} = -\frac{x^3-5x}{5-3x^2} = - y(x)
График функции симметричен относительно начала координат.

3) Точки пересечения с осями координат

ox: \frac{x^3-5x}{5-3x^2} = 0 \Rightarrow
 x\left(x^2-5\right) = 0 \Rightarrow x_1 = 0; \; x_{2,3} = \pm \sqrt{5}
oy: y(0)=\frac{0^3-5\cdot 0}{5-3\cdot 0^2}=\frac{0}{5}=0

4) Точки разрыва

 x = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} - точка разрыва II рода.

5) Асимптоты

a) Вертикальные
x=-\sqrt{\frac{5}{3}} - вертикальная асимптота, так как:
\lim_{x\to -\sqrt{\frac{5}{3}}-} \frac{x^3-5x}{5-3x^2} 
     = \left\{ \frac{\left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^3-5\cdot \left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)}{0+}
     = \frac{-\frac{5}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}-5\sqrt{\frac{5}{3}}}{0+}
     = \frac{\frac{10}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{0+} \right\} 
     =-\infty
\lim_{x\to -\sqrt{\frac{5}{3}}+} \frac{x^3-5x}{5-3x^2}
     = \left\{ \frac{\left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^3-5\cdot \left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)}{0-}
     = \frac{-\frac{5}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}-5\sqrt{\frac{5}{3}}}{0-}
     = \frac{\frac{10}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{0-} \right\}
     =+\infty
x=\sqrt{\frac{5}{3}} - вертикальная асимптота, так как:
\lim_{x\to \sqrt{\frac{5}{3}}-} \frac{x^3-5x}{5-3x^2}
     = \left\{ \frac{\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^3-5\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{0+}
     = \frac{\frac{5}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}-5\sqrt{\frac{5}{3}}}{0+}
     = \frac{-\frac{10}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{0+} \right\}
     =-\infty
\lim_{x\to \sqrt{\frac{5}{3}}+} \frac{x^3-5x}{5-3x^2}
     = \left\{ \frac{\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^3-5\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{0-}
     = \frac{\frac{5}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}-5\sqrt{\frac{5}{3}}}{0-}
     = \frac{-\frac{10}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{0-} \right\}
     =+\infty


б) Наклонные  y = k \cdot x + b
 k = \lim_{x\to\pm\infty} {\frac{y(x)}{x}} = \lim_{x\to\pm\infty} {\frac{x^3-5x}{5x-3x^3}} = -\frac{1}{3}
 b = \lim_{x\to\pm\infty} {\left(y(x)-k \cdot x \right)} =
   = \lim_{x\to\pm\infty} {\left(\frac{x^3-5x}{5-3x^2}+\frac{1}{3}x \right)} =
   = \lim_{x\to\pm\infty} {\left(\frac{3(x^3-5x)}{3(5-3x^2)}+\frac{x(5-3x^2)}{3(5-3x^2)} \right)} =
   = \lim_{x\to\pm\infty} {\left(\frac{3x^3-15x+5x-3x^3}{3(5-3x^2)} \right)} =
   = \lim_{x\to\pm\infty} {\left(\frac{-10x}{3(5-3x^2)} \right)} = 0

Т.е. наклонная ассимптота описывается уравнением  y = - \frac{x}{3}

6) Интервалы возрастания и убывания:

y'=\left(\frac{x^3-5x}{5-3x^2}\right)' = \frac{\left(3x^2 - 5\right)\left(5-3x^2\right) - \left(x^3-5x\right)(-6x)}{\left(5-3x^2\right)^2} =
 = \frac{-9x^4 + 30x^2 - 25 + 6x^4-30x^2}{\left(5-3x^2\right)^2} = \frac{-3x^4 - 25}{\left(5-3x^2\right)^2} = -\frac{3x^4 + 25}{\left(5-3x^2\right)^2} =
y' < 0, \forall x
y' - не существует при x= \pm \sqrt{\frac{5}{3}}
x \left(-\infty;\ -\sqrt{\frac{5}{3}}\right) -\sqrt{\frac{5}{3}} \left(-\sqrt{\frac{5}{3}};\ \sqrt{\frac{5}{3}}\right) \sqrt{\frac{5}{3}} \left(\sqrt{\frac{5}{3}};\ \infty\right)
y' - \not \exists - \not \exists -
y \searrow \not \exists \searrow \not \exists \searrow
Функция убывает при x \in \left(-\infty;\ -\sqrt{\frac{5}{3}}\right) \cup \left(-\sqrt{\frac{5}{3}};\ \sqrt{\frac{5}{3}}\right) \cup \left(\sqrt{\frac{5}{3}};\ \infty\right)

7) Интервалы выпуклости (вогнутости). Точки перегиба:

y''= \left(y'\right)' = \left(-\frac{3x^4 + 25}{\left(5-3x^2\right)^2}\right)' = -\frac{12x^3\left(5-3x^2\right)^2 - \left(3x^4 + 25\right)\cdot 2\left(5-3x^2\right)(-6x)}{\left(5-3x^2\right)^4} =
 = -\frac{12x^3\left(5-3x^2\right) +12x\left(3x^4 + 25\right)}{\left(5-3x^2\right)^3} = -\frac{12x\left(5x^2-3x^4 + 3x^4 + 25\right)}{\left(5-3x^2\right)^3} = -\frac{60x\left(x^2 + 5\right)}{\left(5-3x^2\right)^3}
y'' = 0 \Rightarrow x= 0
y'' - не существует, при x= \pm \sqrt{\frac{5}{3}}
x \left(-\infty;\ -\sqrt{\frac{5}{3}}\right) -\sqrt{\frac{5}{3}} \left(-\sqrt{\frac{5}{3}};\ 0\right) 0 \left(0;\ \sqrt{\frac{5}{3}}\right) \sqrt{\frac{5}{3}} \left(\sqrt{\frac{5}{3}};\ +\infty\right)
y'' - \not \exists + 0 - \not \exists +
На интервале \left(-\infty;\ -\sqrt{\frac{5}{3}}\right) \cup \left(0;\ \sqrt{\frac{5}{3}}\right) - функция выпуклая \left(y''<0\right).
На интервале \left(-\sqrt{\frac{5}{3}};\ 0\right) \cup \left(\sqrt{\frac{5}{3}};\ +\infty\right) - функция вогнутая \left(y''>0\right).
x=0 - точка перегиба.

8) График функции

Gr 6-9.png