Задача Кузнецов Графики 6-9

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Найти асимптоты и построить графики функций.

<math>y=\frac{x^3-5x}{5-3x^2}</math>

Решение

<math>y=\frac{x^3-5x}{5-3x^2}</math>

1) Область определения

<math>5-3x^2 \ne 0</math>
<math>x^2 \ne \frac{5}{3}</math>
<math>D(y)=\left(-\infty;-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\cup \left(-\sqrt{\frac{5}{3}};\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{5}{3}}; +\infty\right)</math>

2) Четность функции

Функция является нечетной, т.к.:
<math>y(-x)=\frac{(-x)^3-5\cdot (-x)}{5-3\cdot (-x)^2} = \frac{-x^3+5x}{5-3x^2} = -\frac{x^3-5x}{5-3x^2} = - y(x)</math>
График функции симметричен относительно начала координат.

3) Точки пересечения с осями координат

<math>ox: \frac{x^3-5x}{5-3x^2} = 0 \Rightarrow </math>
<math> x\left(x^2-5\right) = 0 \Rightarrow x_1 = 0; \; x_{2,3} = \pm \sqrt{5}</math>
<math>oy: y(0)=\frac{0^3-5\cdot 0}{5-3\cdot 0^2}=\frac{0}{5}=0</math>

4) Точки разрыва

<math> x = \pm\sqrt{\frac{5}{3}}</math> - точка разрыва II рода.

5) Асимптоты

a) Вертикальные
<math>x=-\sqrt{\frac{5}{3}}</math> - вертикальная асимптота, так как:
<math>\lim_{x\to -\sqrt{\frac{5}{3}}-} \frac{x^3-5x}{5-3x^2}
    = \left\{ \frac{\left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^3-5\cdot \left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)}{0+}
    = \frac{-\frac{5}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}-5\sqrt{\frac{5}{3}}}{0+}
    = \frac{\frac{10}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{0+} \right\} 
    =-\infty</math>
<math>\lim_{x\to -\sqrt{\frac{5}{3}}+} \frac{x^3-5x}{5-3x^2}
    = \left\{ \frac{\left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^3-5\cdot \left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)}{0-}
    = \frac{-\frac{5}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}-5\sqrt{\frac{5}{3}}}{0-}
    = \frac{\frac{10}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{0-} \right\}
    =+\infty</math>
<math>x=\sqrt{\frac{5}{3}}</math> - вертикальная асимптота, так как:
<math>\lim_{x\to \sqrt{\frac{5}{3}}-} \frac{x^3-5x}{5-3x^2}
    = \left\{ \frac{\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^3-5\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{0+}
    = \frac{\frac{5}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}-5\sqrt{\frac{5}{3}}}{0+}
    = \frac{-\frac{10}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{0+} \right\}
    =-\infty</math>
<math>\lim_{x\to \sqrt{\frac{5}{3}}+} \frac{x^3-5x}{5-3x^2}
    = \left\{ \frac{\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^3-5\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{0-}
    = \frac{\frac{5}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}-5\sqrt{\frac{5}{3}}}{0-}
    = \frac{-\frac{10}{3}\cdot \sqrt{\frac{5}{3}}}{0-} \right\}
    =+\infty</math>


б) Наклонные <math> y = k \cdot x + b</math>
<math> k = \lim_{x\to\pm\infty} {\frac{y(x)}{x}} = \lim_{x\to\pm\infty} {\frac{x^3-5x}{5x-3x^3}} = -\frac{1}{3}</math>
<math> b = \lim_{x\to\pm\infty} {\left(y(x)-k \cdot x \right)} =</math>
<math> = \lim_{x\to\pm\infty} {\left(\frac{x^3-5x}{5-3x^2}+\frac{1}{3}x \right)} = </math>
<math> = \lim_{x\to\pm\infty} {\left(\frac{3(x^3-5x)}{3(5-3x^2)}+\frac{x(5-3x^2)}{3(5-3x^2)} \right)} = </math>
<math> = \lim_{x\to\pm\infty} {\left(\frac{3x^3-15x+5x-3x^3}{3(5-3x^2)} \right)} = </math>
<math> = \lim_{x\to\pm\infty} {\left(\frac{-10x}{3(5-3x^2)} \right)} = 0 </math>

Т.е. наклонная ассимптота описывается уравнением <math> y = - \frac{x}{3}</math>

6) Интервалы возрастания и убывания:

<math>y'=\left(\frac{x^3-5x}{5-3x^2}\right)' = \frac{\left(3x^2 - 5\right)\left(5-3x^2\right) - \left(x^3-5x\right)(-6x)}{\left(5-3x^2\right)^2} = </math>
<math> = \frac{-9x^4 + 30x^2 - 25 + 6x^4-30x^2}{\left(5-3x^2\right)^2} = \frac{-3x^4 - 25}{\left(5-3x^2\right)^2} = -\frac{3x^4 + 25}{\left(5-3x^2\right)^2} =</math>
<math>y' < 0, \forall x </math>
<math>y'</math> - не существует при <math>x= \pm \sqrt{\frac{5}{3}}</math>
<math>x</math> <math>\left(-\infty;\ -\sqrt{\frac{5}{3}}\right)</math> <math>-\sqrt{\frac{5}{3}}</math> <math>\left(-\sqrt{\frac{5}{3}};\ \sqrt{\frac{5}{3}}\right)</math> <math>\sqrt{\frac{5}{3}}</math> <math>\left(\sqrt{\frac{5}{3}};\ \infty\right)</math>
<math>y'</math> <math>-</math> <math>\not \exists</math> <math>-</math> <math>\not \exists</math> <math>-</math>
<math>y</math> <math>\searrow</math> <math>\not \exists</math> <math>\searrow</math> <math>\not \exists</math> <math>\searrow</math>
Функция убывает при <math>x \in \left(-\infty;\ -\sqrt{\frac{5}{3}}\right) \cup \left(-\sqrt{\frac{5}{3}};\ \sqrt{\frac{5}{3}}\right) \cup \left(\sqrt{\frac{5}{3}};\ \infty\right)</math>

7) Интервалы выпуклости (вогнутости). Точки перегиба:

<math>y= \left(y'\right)' = \left(-\frac{3x^4 + 25}{\left(5-3x^2\right)^2}\right)' = -\frac{12x^3\left(5-3x^2\right)^2 - \left(3x^4 + 25\right)\cdot 2\left(5-3x^2\right)(-6x)}{\left(5-3x^2\right)^4} = </math>
<math> = -\frac{12x^3\left(5-3x^2\right) +12x\left(3x^4 + 25\right)}{\left(5-3x^2\right)^3} = -\frac{12x\left(5x^2-3x^4 + 3x^4 + 25\right)}{\left(5-3x^2\right)^3} = -\frac{60x\left(x^2 + 5\right)}{\left(5-3x^2\right)^3} </math>
<math>y = 0 \Rightarrow x= 0</math>
<math>y</math> - не существует, при <math>x= \pm \sqrt{\frac{5}{3}}</math>
<math>x</math> <math>\left(-\infty;\ -\sqrt{\frac{5}{3}}\right)</math> <math>-\sqrt{\frac{5}{3}}</math> <math>\left(-\sqrt{\frac{5}{3}};\ 0\right)</math> <math>0</math> <math>\left(0;\ \sqrt{\frac{5}{3}}\right)</math> <math>\sqrt{\frac{5}{3}}</math> <math>\left(\sqrt{\frac{5}{3}};\ +\infty\right)</math>
<math>y</math> <math>-</math> <math>\not \exists</math> <math>+</math> <math>0</math> <math>-</math> <math>\not \exists</math> <math>+</math>
На интервале <math>\left(-\infty;\ -\sqrt{\frac{5}{3}}\right) \cup \left(0;\ \sqrt{\frac{5}{3}}\right)</math> - функция выпуклая <math>\left(y<0\right)</math>.
На интервале <math>\left(-\sqrt{\frac{5}{3}};\ 0\right) \cup \left(\sqrt{\frac{5}{3}};\ +\infty\right)</math> - функция вогнутая <math>\left(y>0\right)</math>.
<math>x=0</math> - точка перегиба.

8) График функции

Gr 6-9.png