Задача Кузнецов Графики 6-7

Условие задачи

Найти асимптоты и построить графики функций.

$y={\frac {2x^{2}-6}{x-2}}$

Решение

$y={\frac {2x^{2}-6}{x-2}}=2x+4+{\frac {2}{x-2}}.$

1) Область определения:

$D(y)=(-\infty ;2)\cup (2;+\infty ).$

2) Четность функции:

Функция ни четная, ни нечетная.

$y(-x)={\frac {2(-x)^{2}-6}{-x-2}}=-{\frac {2x^{2}-6}{x+2}}.$

3) Точки пересечения с осями координат:

$ox:{\begin{cases}x={\sqrt {3}},\\x=-{\sqrt {3}}.\end{cases}}$

$oy:\quad y(0)=3.$

4) Точки разрыва:

$x=2$ - точка разрыва II рода.

5) Асимптоты:

а) Вертикальные:

$x=2$ - вертикальная асимптота, так как:

$\lim _{x\to 2-}\left(2x+4+{\frac {2}{x-2}}\right)=\left\{2\cdot 2+4+{\frac {2}{0-}}\right\}=-\infty .$

$\lim _{x\to 2+}\left(2x+4+{\frac {2}{x-2}}\right)=\left\{2\cdot 2+4+{\frac {2}{0+}}\right\}=+\infty .$

б) Наклонные:

$y=kx+b;$

$k=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {2x+4+{\frac {2}{x-2}}}{x}}\right)=\left\{2+{\frac {4}{x}}+{\frac {\frac {2}{x}}{x-2}}\right\}=2.$

$b=\lim _{x\to \infty }\left(2x+4+{\frac {2}{x-2}}-2x\right)=4.$

$y=2x+4$ - наклонная асимптота.

6) Интервалы возрастания и убывания:

$y'=2-{\frac {2}{(x-2)^{2}}}.$

$y'=0,{\begin{cases}x=1,\\x=3.\end{cases}}$

$y'$ - не существует при $x=2.$

$y(1)=4;$

$y(3)=12.$

$(1;4)$ - точка локального максимума.

$(3;12)$ - точка локального минимума.

7) Интервалы выпуклости (вогнутости). Точки перегиба:

$y''={\frac {4}{(x-2)^{3}}}.$

$y''$ - не существует, при $x=2.$

Точки перегиба отсутствуют.

8) График функции: