Задача Кузнецов Графики 6-5

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Найти асимптоты и построить графики функций.

<math>y=\frac{4x^3+3x^2-8x-2}{2-3x^2}</math>

Решение

<math>y=\frac{4x^3+3x^2-8x-2}{2-3x^2}=-\frac{4}{3}x-1-\frac{16x}{6-9x^2}.</math>

1) Область определения:

<math>D(y)=\left(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\cup \left(-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty\right).</math>

2) Четность функции:

Функция ни четная, ни нечетная.
<math>y(-x)=\frac{-4x^3+3x^2+8x-2}{2-3x^2} \ne \pm y(x).</math>

3) Точки пересечения с осями координат:

<math>oy: \quad y(0)=-1.</math>

4) Асимптоты:

а) Вертикальные:
<math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}; \quad x=-\sqrt{\frac{2}{3}}</math> - вертикальные асимптоты, так как:
<math>\lim_{x\to \sqrt{\frac{2}{3}}-} \left(-\frac{4}{3}x-1-\frac{16x}{6-9x^2}\right)= \left\{ -\frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}-1 - \frac{16\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}{0-}\right\} = +\infty.</math>
<math>\lim_{x\to \sqrt{\frac{2}{3}}+} \left(-\frac{4}{3}x-1-\frac{16x}{6-9x^2}\right)= \left\{ -\frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}-1 - \frac{16\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}{0+}\right\} = -\infty.</math>
<math>\lim_{x\to -\sqrt{\frac{2}{3}}-} \left(-\frac{4}{3}x-1-\frac{16x}{6-9x^2}\right)= \left\{ \frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}-1 + \frac{16\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}{0-}\right\} = -\infty.</math>
<math>\lim_{x\to -\sqrt{\frac{2}{3}}+} \left(-\frac{4}{3}x-1-\frac{16x}{6-9x^2}\right)= \left\{ \frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}-1 + \frac{16\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}{0+}\right\} = +\infty.</math>
<math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}; \quad x=-\sqrt{\frac{2}{3}}</math> - также являются точками разрыва II рода.
б) Наклонные:
<math>y=kx+b;</math>
<math>k=\lim_{x\to \pm\infty} \left(\frac{4x^3+3x^2-8x-2}{2x-3x^3}\right)=\lim_{x\to \pm\infty} \left(\frac{4+\frac{3}{x}-\frac{8}{x^2}-\frac{2}{x^3}}{-3+\frac{2}{x^2}}\right)=-\frac{4}{3}.</math>
<math>b=\lim_{x\to \pm\infty} \left(-\frac{4}{3}x-1-\frac{16x}{6-9x^2}+\frac{4}{3}x\right) =\lim_{x\to \pm\infty} \left(-1-\frac{16}{\frac{6}{x}-9x}\right)=-1.</math>
<math>y=-\frac{4}{3}x-1</math> - наклонная асимптота.

5) Интервалы возрастания и убывания:

<math>y'=-\frac{4}{3}-\frac{16}{3} \cdot \left(\frac{x}{2-3x^2}\right)'=-\frac{4}{3}-\frac{16}{3} \cdot \left(\frac{(2-3x^2)-x(-6x)}{(2-3x^2)^2}\right)=-\frac{4}{3}-\frac{16(2+3x^2)}{3(2-3x^2)^2}.</math>
<math>y'</math> - не существует, при <math>x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}.</math>
Для остальных точек: <math>y'<0</math>, т.е.:
на интервале <math>\left(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\cup \left(-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty\right)</math> функция убывает.

6) Интервалы выпуклости (вогнутости). Точки перегиба.

<math>y=-\frac{16}{3}\left(\frac{(2+3x^2)'(2-3x^2)^2-(2+3x^2)((2-3x^2)^2)'}{(2-3x^2)^2}\right)= </math>
<math>=-\frac{16}{3} \cdot \frac{6x(2-3x^2)}{(2-3x^2)^4}\left(2-3x^2+4+6x^2\right)= -\frac{16 \cdot 2x}{(2-3x^2)^3}\left(3x^2+6\right)=-\frac{32x(3x^2+6)}{(2-3x^2)^3}.</math>
<math>y=0</math>, при <math>x=0.</math>
<math>y</math> - не существует, при <math>x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}.</math>
На интервале <math>\left(-\infty;\ -\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\cup \left(0;\ \sqrt{\frac{2}{3}}\right)</math> - функция выпуклая <math>\left(y<0\right).</math>
На интервале <math>\left(-\sqrt{\frac{2}{3}};\ 0\right) \cup \left(\sqrt{\frac{2}{3}};\ +\infty\right)</math> - функция вогнутая <math>\left(y>0\right).</math>
<math>x=0</math> - точка перегиба.

7) График функции:
Graf 3-6-5.gif