Задача Кузнецов Графики 6-4

Условие задачи

Найти асимптоты и построить графики функций.

$y={\frac {4x^{2}+9}{4x+8}}$

Решение

$y={\frac {4x^{2}+9}{4x+8}}$

1) Область определения

$4x+8\neq 0$

$x\neq -2$

$D(y)=\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(-2;+\infty \right)$

2) Четность функции

Функция общего вида:

$y(-x)={\frac {4\cdot (-x)^{2}+9}{4\cdot (-x)+8}}={\frac {4x^{2}+9}{-4x+8}}\neq \pm y(x)$

3) Точки пересечения с осями координат

$ox:{\frac {4x^{2}+9}{4x+8}}=0\Rightarrow$

$4x^{2}+9=0$

$x^{2}=-{\frac {9}{4}}$

Нет пересечений с осью OX.

$oy:\quad y(0)={\frac {4\cdot 0^{2}+9}{4\cdot 0+8}}={\frac {9}{8}}$

4) Асимптоты

а) Вертикальные:

$x=-2$ - вертикальная асимптота, так как:

$\lim _{x\to -2-}{\frac {4x^{2}+9}{4x+8}}=\left\{{\frac {4\cdot (-2)^{2}+9}{0-}}={\frac {25}{0-}}\right\}=-\infty$

$\lim _{x\to -2+}{\frac {4x^{2}+9}{4x+8}}=\left\{{\frac {4\cdot (-2)^{2}+9}{0+}}={\frac {25}{0+}}\right\}=+\infty$

б) Наклонные:

$y=kx+b;$

$k=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {4x^{2}+9}{4x+8}}\right)/x=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {4x^{2}+9}{4x^{2}+8x}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {{\frac {1}{x^{2}}}\cdot \left(4x^{2}+9\right)}{{\frac {1}{x^{2}}}\cdot \left(4x^{2}+8x\right)}}=$

$=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {4+{\frac {9}{x^{2}}}}{4+{\frac {8}{x}}}}={\frac {4+0}{4+0}}=1$

$b=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {4x^{2}+9}{4x+8}}-1\cdot x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {4x^{2}+9}{4x+8}}-{\frac {4x^{2}+8x}{4x+8}}\right)=$

$=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {4x^{2}+9-4x^{2}-8x}{4x+8}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {-8x+9}{4x+8}}=$

$=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {{\frac {1}{x}}\cdot (-8x+9)}{{\frac {1}{x}}\cdot (4x+8)}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {-8+{\frac {9}{x}}}{4+{\frac {8}{x}}}}={\frac {-8+0}{4+0}}=-2$

$y=x-2$ - наклонная асимптота.

5) Интервалы возрастания и убывания

$y'=\left({\frac {4x^{2}+9}{4x+8}}\right)'={\frac {8x\cdot (4x+8)-\left(4x^{2}+9\right)\cdot 4}{(4x+8)^{2}}}=$

$={\frac {32x^{2}+64x-16x^{2}-36}{(4x+8)^{2}}}={\frac {16x^{2}+64x-36}{(4x+8)^{2}}}={\frac {4x^{2}+16x-9}{(2x+4)^{2}}}$

$y'(x)=0\Rightarrow$

$4x^{2}+16x-9=0$

$D=16^{2}-4\cdot 4\cdot (-9)=400$

$x={\frac {-16\pm 20}{2\cdot 4}}={\frac {-4\pm 5}{2}}$

$x_{1}=-{\frac {9}{2}}=-4{\frac {1}{2}};\ x_{2}={\frac {1}{2}}$

$y'(x)$ - не существует при $x=-2$

$x$	$\left(-\infty ;\ -4{\frac {1}{2}}\right)$	$-4{\frac {1}{2}}$	$\left(-4{\frac {1}{2}};\ -2\right)$	$-2$	$\left(-2;\ {\frac {1}{2}}\right)$	${\frac {1}{2}}$	$\left({\frac {1}{2}};\ +\infty \right)$
$y'$	$+$	$0$	$-$	$\not \exists$	$-$	$0$	$+$
$y$	$\nearrow$	$-9$	$\searrow$	$\not \exists$	$\searrow$	$1$	$\nearrow$

На интервале $\left(-\infty ;-4{\frac {1}{2}}\right)\cup \left({\frac {1}{2}};+\infty \right)$ функция возрастает.

На интервале $\left(-4{\frac {1}{2}};\ -2\right)\cup \left(-2;\ {\frac {1}{2}}\right)$ функция убывает.

$x=-4{\frac {1}{2}}$ - точка локального максимума $y\left(-4{\frac {1}{2}}\right)=-9$.

$x={\frac {1}{2}}$ - точка локального минимума $y\left({\frac {1}{2}}\right)=1$.

6) Интервалы выпуклости (вогнутости). Точки перегиба.

$y''=\left({\frac {4x^{2}+16x-9}{(2x+4)^{2}}}\right)'={\frac {(8x+16)\cdot (2x+4)^{2}-\left(4x^{2}+16x-9\right)\cdot 2(2x+4)\cdot 2}{(2x+4)^{4}}}=$

$={\frac {(8x+16)\cdot (2x+4)-\left(4x^{2}+16x-9\right)\cdot 4}{(2x+4)^{3}}}={\frac {16x^{2}+32x+32x+64-16x^{2}-64x+36}{(2x+4)^{3}}}={\frac {100}{(2x+4)^{3}}}$

$y''(x)=0$ - нет корней.

$y''(x)$ - не существует при $x=-2$

$x$	$\left(-\infty ;\ -2\right)$	$-2$	$\left(-2;\ +\infty \right)$
$y''$	$-$	$\not \exists$	$+$

На интервале $\left(-\infty ;\ -2\right)$ - функция вогнута $\left(y''<0\right)$.

На интервале $\left(2;\ +\infty \right)$ - функция выпуклая $\left(y''>0\right)$.

$x=-2$ - точка перегиба.