Задача Кузнецов Графики 6-3

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Найти асимптоты и построить графики функций.

<math>y=\frac{x^3-4x}{3x^2-4}</math>

Решение

<math>y=\frac{x^3-4x}{3x^2-4}</math>

1) Область определения

<math>3x^2-4 \ne 0</math>
<math>x^2 \ne \frac{4}{3}</math>
<math>D(y)=\left(-\infty;-\sqrt{\frac{4}{3}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{4}{3}};+\infty\right)</math>

2) Четность функции

Функция нечетная:
<math>y(-x)=\frac{(-x)^3-4(-x)}{3(-x)^2-4}=-\frac{x^3-4x}{3x^2-4} = -y(x)</math>

3) Точки пересечения с осями координат

<math>ox: \frac{x^3-4x}{3x^2-4} = 0 \Rightarrow </math>
<math>x\left(x^2-4\right) = 0</math>
<math>x = 0</math>, <math>x = -2</math> и <math>x = 2</math>
<math>oy: \quad y(0)=\frac{0^3-4\cdot 0}{3\cdot 0^2-4} = \frac{0}{-4}=0</math>

4) Асимптоты

а) Вертикальные:
<math>x=-\sqrt{\frac{4}{3}}</math> - вертикальная асимптота, так как:
<math>\lim_{x\to -\sqrt{\frac{4}{3}}-} \frac{x^3-4x}{3x^2-4}= \left\{ \frac{\left(-\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^3-4\cdot \left(-\sqrt{\frac{4}{3}}\right)}{0-} = \frac{-\frac{4}{3}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}+4\sqrt{\frac{4}{3}}}{0-} = \frac{\frac{8}{3}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}}{0-} \right\} = +\infty</math>
<math>\lim_{x\to -\sqrt{\frac{4}{3}}+} \frac{x^3-4x}{3x^2-4}= \left\{ \frac{\left(-\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^3-4\cdot \left(-\sqrt{\frac{4}{3}}\right)}{0+} = \frac{-\frac{4}{3}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}+4\sqrt{\frac{4}{3}}}{0+} = \frac{\frac{8}{3}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}}{0+} \right\} = -\infty</math>
<math>x=\sqrt{\frac{4}{3}}</math> - вертикальная асимптота, так как:
<math>\lim_{x\to \sqrt{\frac{4}{3}}-} \frac{x^3-4x}{3x^2-4}= \left\{ \frac{\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^3-4\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}}{0-} = \frac{\frac{4}{3}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}-4\sqrt{\frac{4}{3}}}{0-} = \frac{-\frac{8}{3}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}}{0-} \right\} = +\infty</math>
<math>\lim_{x\to \sqrt{\frac{4}{3}}+} \frac{x^3-4x}{3x^2-4}= \left\{ \frac{\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^3-4\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}}{0+} = \frac{\frac{4}{3}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}-4\sqrt{\frac{4}{3}}}{0+} = \frac{-\frac{8}{3}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}}{0+} \right\} = -\infty</math>
б) Наклонные:
<math>y=kx+b;</math>
<math>k=\lim_{x\to \pm\infty} \left(\frac{x^3-4x}{3x^2-4}\right) / x =\lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^3-4x}{3x^3-4x} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x^3}\cdot \left(x^3-4x\right)}{\frac{1}{x^3}\cdot \left(3x^3-4x\right)} = </math>
<math> = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{1-\frac{4}{x^2}}{3-\frac{4}{x^3}} = \frac{1-0}{3-0} = \frac{1}{3}</math>
<math>b=\lim_{x\to \pm\infty} \left(\frac{x^3-4x}{3x^2-4} - \frac{1}{3}\cdot x\right)=\lim_{x\to \pm\infty} \left(\frac{3x^3-12x}{3\left(3x^2-4\right)} - \frac{x\left(3x^2-4\right)}{3\left(3x^2-4\right)}\right)=</math>
<math> = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{3x^3-12x-3x^3-4x}{3\left(3x^2-4\right)}= \lim_{x\to \pm\infty} \frac{-16x}{3\left(3x^2-4\right)}=</math>
<math> = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x}\cdot (-16x)}{\frac{1}{x}\cdot 3\left(3x^2-4\right)} =\lim_{x\to \pm\infty} \frac{-16}{3\left(3x-\frac{4}{x}\right)} = \left\{ \frac{-16}{\pm\infty} \right\} = 0</math>
<math>y=\frac{x}{3}</math> - наклонная асимптота.

5) Интервалы возрастания и убывания

<math>y'=\left(\frac{x^3-4x}{3x^2-4}\right)' = \frac{\left(3x^2-4\right)\cdot \left(3x^2-4\right) - \left(x^3-4x\right)\cdot 6x}{\left(3x^2-4\right)^2} = </math>
<math> = \frac{9x^4-24x^2+16 - 6x^4+24x^2}{\left(3x^2-4\right)^2} =\frac{3x^4+16}{\left(3x^2-4\right)^2}</math>
<math>y'(x)=0 \Rightarrow</math>
<math>3x^4+16=0</math> - действительных корней нет.
<math>y'(x)</math> - не существует при <math>x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}</math>
<math>x</math> <math>\left(-\infty;\ -\frac{2}{\sqrt{3}}\right)</math> <math>-\frac{2}{\sqrt{3}}</math> <math>\left(-\frac{2}{\sqrt{3}};\ \frac{2}{\sqrt{3}}\right)</math> <math>\frac{2}{\sqrt{3}}</math> <math>\left(\frac{2}{\sqrt{3}};\ +\infty\right)</math>
<math>y'</math> <math>+</math> <math>\not \exists</math> <math>+</math> <math>\not \exists</math> <math>+</math>
<math>y</math> <math>\nearrow</math> <math>\not \exists</math> <math>\nearrow</math> <math>\not \exists</math> <math>\nearrow</math>
На интервале <math>\left(-\infty; -\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}; \frac{2}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(\frac{2}{\sqrt{3}}; +\infty\right)</math> функция возрастает.
Точки экстремума отсутствуют.

6) Интервалы выпуклости (вогнутости). Точки перегиба.

<math>y=\left(\frac{3x^4+16}{\left(3x^2-4\right)^2}\right)'= \frac{12x^3\cdot \left(3x^2-4\right)^2 - \left(3x^4+16\right)\cdot 2\left(3x^2-4\right)\cdot 6x}{\left(3x^2-4\right)^4} =</math>
<math> = \frac{12x^3\cdot \left(3x^2-4\right) - \left(3x^4+16\right)\cdot 12x}{\left(3x^2-4\right)^3} = \frac{36x^5-48x^3 - 36x^5-192x}{\left(3x^2-4\right)^3} =</math>
<math> = \frac{-48x^3 - 192x}{\left(3x^2-4\right)^3} = -\frac{48x\left(x^2 +4\right)}{\left(3x^2-4\right)^3}</math>
<math>y(x)=0 \Rightarrow</math>
<math>48x\left(x^2 +4\right)=0</math>
<math>x=0</math>
<math>y(x)</math> - не существует при <math>x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}</math>
<math>x</math> <math>\left(-\infty;\ -\frac{2}{\sqrt{3}}\right)</math> <math>-\frac{2}{\sqrt{3}}</math> <math>\left(-\frac{2}{\sqrt{3}};\ 0\right)</math> <math>0</math> <math>\left(0;\ \frac{2}{\sqrt{3}}\right)</math> <math>\frac{2}{\sqrt{3}}</math> <math>\left(\frac{2}{\sqrt{3}};\ +\infty\right)</math>
<math>y</math> <math>+</math> <math>\not \exists</math> <math>-</math> <math>0</math> <math>+</math> <math>\not \exists</math> <math>-</math>
На интервале <math>\left(-\infty; -\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\cup \left(0;\frac{2}{\sqrt{3}}\right)</math> - функция выпуклая <math>\left(y>0\right)</math>.
На интервале <math>\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}; 0\right)\cup \left(\frac{2}{\sqrt{3}}; +\infty\right)</math> - функция вогнута <math>\left(y<0\right)</math>.
<math>x=0</math> - точка перегиба.

Graf 3-6-3.gif