Задача Кузнецов Графики 6-27

Условие задачи

Найти асимптоты и построить графики функций.

$y={\frac {2x^{3}+2x^{2}-9x-3}{2x^{2}-3}}$

Решение

$y={\frac {2x^{3}+2x^{2}-9x-3}{2x^{2}-3}}=x+1-{\frac {6x}{2x^{2}-3}}.$

1) Область определения

$D(y)=\left(-\infty ;-{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)\cup \left(-{\sqrt {\frac {3}{2}}};{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)\cup \left({\sqrt {\frac {3}{2}}};+\infty \right).$

2) Четность функции

Функция ни четная, ни нечетная.

3) Точки пересечения с осями координат

$oy:\quad y(0)=1.$

4) Асимптоты

а) Вертикальные:

$x={\sqrt {\frac {3}{2}}};\quad x=-{\sqrt {\frac {3}{2}}}$ - вертикальные асимптоты, так как:

$\lim _{x\to {\sqrt {\frac {3}{2}}}-}\left(x+1-{\frac {6x}{2x^{2}-3}}\right)=\left\{{\sqrt {\frac {3}{2}}}+1-{\frac {6\cdot {\sqrt {\frac {3}{2}}}}{0-}}\right\}=+\infty$

$\lim _{x\to {\sqrt {\frac {3}{2}}}+}\left(x+1-{\frac {6x}{2x^{2}-3}}\right)=\left\{{\sqrt {\frac {3}{2}}}+1-{\frac {6\cdot {\sqrt {\frac {3}{2}}}}{0+}}\right\}=-\infty$

$\lim _{x\to -{\sqrt {\frac {3}{2}}}-}\left(x+1-{\frac {6x}{2x^{2}-3}}\right)=\left\{-{\sqrt {\frac {3}{2}}}+1-{\frac {6\cdot \left(-{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)}{0+}}\right\}=+\infty$

$\lim _{x\to -{\sqrt {\frac {3}{2}}}+}\left(x+1-{\frac {6x}{2x^{2}-3}}\right)=\left\{-{\sqrt {\frac {3}{2}}}+1-{\frac {6\cdot \left(-{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)}{0-}}\right\}=-\infty$

б) Наклонные:

$y=kx+b;$

$k=\lim _{x\to \pm \infty }\left({\frac {x+1-{\frac {6x}{2x^{2}-3}}}{x}}\right)=\lim _{x\to \pm \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}-{\frac {6}{2x^{2}-3}}\right)=1.$

$b=\lim _{x\to \pm \infty }\left(x+1-{\frac {6x}{2x^{2}-3}}-x\right)=\lim _{x\to \pm \infty }\left(1-{\frac {6}{2x-{\frac {3}{x}}}}\right)=1$

$y=x+1$ - наклонная асимптота.

5) Интервалы возрастания и убывания

$y'=1-6\left({\frac {2x^{2}-3-x\cdot 4x}{(2x^{2}-3)^{2}}}\right)=1-{\frac {12x^{2}-18-24x^{2}}{(2x^{2}-3)^{2}}}=1+{\frac {12x^{2}+18}{(2x^{2}-3)^{2}}}.$

$y'$ - не существует, при $x=\pm {\sqrt {\frac {3}{2}}}$

Для остальных точек: $y'>0$, т.е.:

на интервале $\left(-\infty ;-{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)\cup \left(-{\sqrt {\frac {3}{2}}};{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)\cup \left({\sqrt {\frac {3}{2}}};+\infty \right)$ функция возрастает.

6) Интервалы выпуклости (вогнутости). Точки перегиба.

$y''={\frac {24x(2x^{2}-3)^{2}-2(12x^{2}+18)(2x^{2}-3)\cdot 4x}{(2x^{3}-3)^{4}}}={\frac {8x\left(3\cdot \left(2x^{2}-3\right)-12x^{2}-18\right)}{(2x^{2}-3)^{3}}}=$

$=-{\frac {24x\left(2x^{2}+9\right)}{(2x^{2}-3)^{3}}}$

$y''=0$, при $x=0$

$y''$ - не существует, при $x=\pm {\sqrt {\frac {3}{2}}}$

На интервале $\left(-\infty ;\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)\cup \left(0;\ {\sqrt {\frac {3}{2}}}\right)$ - функция вогнутая $\left(y''>0\right)$, а на $\left(-{\sqrt {\frac {3}{2}}};\ 0\right)\cup \left({\sqrt {\frac {3}{2}}};\ +\infty \right)$ - выпуклая $\left(y''<0\right)$

$x=0$ - точка перегиба.