Задача Кузнецов Графики 6-12

Условие задачи

Найти асимптоты и построить графики функций.

$y={\frac {4x^{3}-3x}{4x^{2}-1}}$

Решение

$y={\frac {4x^{3}-3x}{4x^{2}-1}}$

1) Область определения

$4x^{2}-1\neq 0$

$x^{2}\neq {\frac {1}{4}}$

$D(y)=\left(-\infty ;-{\frac {1}{2}}\right)\cup \left(-{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}}\right)\cup \left({\frac {1}{2}};+\infty \right)$

2) Четность функции

Функция нечетная:

$y(-x)={\frac {4\cdot (-x)^{3}-3\cdot (-x)}{4\cdot (-x)^{2}-1}}=-{\frac {4x^{3}-3x}{4x^{2}-1}}=-y(x)$

3) Точки пересечения с осями координат

$ox:{\frac {4x^{3}-3x}{4x^{2}-1}}=0\Rightarrow$

$x\left(4x^{2}-3\right)=0$

$x=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}$, $x=0$

$oy:y(0)={\frac {4\cdot 0^{3}-3\cdot 0}{4\cdot 0^{2}-1}}={\frac {0}{-1}}=0$