Задача Кузнецов Графики 6-1

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Найти асимптоты и построить графики функций.

<math>y= \frac{17-x^2}{4x-5}</math>

Решение

<math>y= \frac{17-x^2}{4x-5}</math>

1) Область определения

<math>D(y)=\left(-\infty;\frac{5}{4}\right)\cup \left(\frac{5}{4};+\infty\right).</math>

2) Четность функции

Функция ни четная, ни нечетная, т.к.:
<math>y(-x)=\frac{17-(-x)^2}{4(-x)-5}= -\frac{17-x^2}{4x+5} \neq \pm y(x)</math>

3) Точки пересечения с осями координат

<math>ox: \frac{17-x^2}{4x-5} = 0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{17}</math>
<math>oy: \quad y(0)=-\frac{17}{5}</math>

4) Асимптоты

а) Вертикальные:
<math>x=\frac{5}{4}</math> - вертикальная асимптота, так как:
<math>\lim_{x\to \frac{5}{4}-} \frac{17-x^2}{4x-5}= \left\{ \frac{17-\left(\frac{5}{4}\right)^2}{0-}\right\} = -\infty</math>
<math>\lim_{x\to \frac{5}{4}+} \frac{17-x^2}{4x-5}= \left\{ \frac{17-\left(\frac{5}{4}\right)^2}{0+}\right\} = +\infty</math>
б) Наклонные:
<math>y=kx+b;</math>
<math>k=\lim_{x\to \pm\infty} \left(\frac{17-x^2}{4x-5}\right) / x =\lim_{x\to \pm\infty} \frac{17-x^2}{4x^2-5x} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{\frac{17}{x^2}-1}{4-\frac{5}{x}} = -\frac{1}{4}</math>
<math>b=\lim_{x\to \pm\infty} \left(\frac{17-x^2}{4x-5} - \left(-\frac{1}{4}\cdot x\right)\right)=\lim_{x\to \pm\infty} \left(\frac{4\left(17-x^2\right)}{4\left(4x-5\right)} + \frac{x\left(4x-5\right)}{4\left(4x-5\right)}\right)=</math>
<math>=\lim_{x\to \pm\infty} \frac{68-4x^2+4x^2-5x}{4\left(4x-5\right)} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{68-5x}{4\left(4x-5\right)} =\lim_{x\to \pm\infty} \frac{\frac{68}{x}-5}{4\left(4-\frac{5}{x}\right)} = -\frac{5}{16}</math>
<math>y=-\frac{x}{4}-\frac{5}{16} = -\frac{4x+5}{16}</math> - наклонная асимптота.

5) Интервалы возрастания и убывания

<math>y'=\left(\frac{17-x^2}{4x-5}\right)' = \frac{-2x\cdot (4x-5) - \left(17-x^2\right)\cdot 4}{(4x-5)^2} = \frac{-8x^2+10x - 68 +4x^2}{(4x-5)^2} = </math>
<math> = \frac{-4x^2+10x - 68}{(4x-5)^2}</math>
<math>y'</math> - не существует, при <math>x = \frac{5}{4}</math>
<math>y' = 0 \Rightarrow</math>
<math>-4x^2+10x - 68 = 0</math>
<math>D=10^2-4\cdot (-4)\cdot (-68)=-988</math>
Действительныйх корней нет. Т.е. для всех <math>x</math> таких, что <math>x \ne \frac{5}{4}</math>:
<math>y'<0</math>
Значит на интервале <math>\left(-\infty; \frac{5}{4}\right)\cup \left(\frac{5}{4};+\infty\right)</math> функция убывает.

6) Интервалы выпуклости (вогнутости). Точки перегиба.

<math>y=\left(\frac{-4x^2+10x - 68}{(4x-5)^2}\right)'= </math>
<math> = \frac{(-8x+10)\cdot (4x-5)^2 - \left(-4x^2+10x - 68\right)\cdot 2(4x-5)\cdot 4}{(4x-5)^4}= </math>
<math> =\frac{(-8x+10)\cdot (4x-5) -8\left(-4x^2+10x - 68\right)}{(4x-5)^3} = </math>
<math> =\frac{-32x^2+40x+40x-50 +32x^2-80x + 544}{(4x-5)^3} = \frac{494}{(4x-5)^3}</math>
<math>y<0</math>, для всех <math>x < \frac{5}{4}</math>
<math>y>0</math>, для всех <math>x > \frac{5}{4}</math>
Значит на интервале <math>\left(-\infty; \frac{5}{4}\right)</math> - функция выпуклая <math>\left(y<0\right)</math>.
Значит на интервале <math>\left(\frac{5}{4}; +\infty\right)</math> - функция вогнутая <math>\left(y>0\right)</math>.
Точек перегиба нет.

Graf 3-6-1.gif