Задача Кузнецов Графики 6-1

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Найти асимптоты и построить графики функций.

y= \frac{17-x^2}{4x-5}

Решение[править]

y= \frac{17-x^2}{4x-5}

1) Область определения

D(y)=\left(-\infty;\frac{5}{4}\right)\cup \left(\frac{5}{4};+\infty\right).

2) Четность функции

Функция ни четная, ни нечетная, т.к.:
y(-x)=\frac{17-(-x)^2}{4(-x)-5}= -\frac{17-x^2}{4x+5} \neq \pm y(x)

3) Точки пересечения с осями координат

ox: \frac{17-x^2}{4x-5} = 0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{17}
oy: \quad y(0)=-\frac{17}{5}

4) Асимптоты

а) Вертикальные:
x=\frac{5}{4} - вертикальная асимптота, так как:
\lim_{x\to \frac{5}{4}-} \frac{17-x^2}{4x-5}= \left\{ \frac{17-\left(\frac{5}{4}\right)^2}{0-}\right\} = -\infty
\lim_{x\to \frac{5}{4}+} \frac{17-x^2}{4x-5}= \left\{ \frac{17-\left(\frac{5}{4}\right)^2}{0+}\right\} = +\infty
б) Наклонные:
y=kx+b;
k=\lim_{x\to \pm\infty} \left(\frac{17-x^2}{4x-5}\right) / x =\lim_{x\to \pm\infty} \frac{17-x^2}{4x^2-5x} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{\frac{17}{x^2}-1}{4-\frac{5}{x}} = -\frac{1}{4}
b=\lim_{x\to \pm\infty} \left(\frac{17-x^2}{4x-5} - \left(-\frac{1}{4}\cdot x\right)\right)=\lim_{x\to \pm\infty} \left(\frac{4\left(17-x^2\right)}{4\left(4x-5\right)} + \frac{x\left(4x-5\right)}{4\left(4x-5\right)}\right)=
=\lim_{x\to \pm\infty} \frac{68-4x^2+4x^2-5x}{4\left(4x-5\right)} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{68-5x}{4\left(4x-5\right)} =\lim_{x\to \pm\infty} \frac{\frac{68}{x}-5}{4\left(4-\frac{5}{x}\right)} = -\frac{5}{16}
y=-\frac{x}{4}-\frac{5}{16} = -\frac{4x+5}{16} - наклонная асимптота.

5) Интервалы возрастания и убывания

y'=\left(\frac{17-x^2}{4x-5}\right)' = \frac{-2x\cdot (4x-5) - \left(17-x^2\right)\cdot 4}{(4x-5)^2} = \frac{-8x^2+10x - 68 +4x^2}{(4x-5)^2} =
 = \frac{-4x^2+10x - 68}{(4x-5)^2}
y' - не существует, при x = \frac{5}{4}
y' = 0 \Rightarrow
-4x^2+10x - 68 = 0
D=10^2-4\cdot (-4)\cdot (-68)=-988
Действительныйх корней нет. Т.е. для всех x таких, что x \ne \frac{5}{4}:
y'<0
Значит на интервале \left(-\infty; \frac{5}{4}\right)\cup \left(\frac{5}{4};+\infty\right) функция убывает.

6) Интервалы выпуклости (вогнутости). Точки перегиба.

y''=\left(\frac{-4x^2+10x - 68}{(4x-5)^2}\right)'=
 = \frac{(-8x+10)\cdot (4x-5)^2 - \left(-4x^2+10x - 68\right)\cdot 2(4x-5)\cdot 4}{(4x-5)^4}=
 =\frac{(-8x+10)\cdot (4x-5) -8\left(-4x^2+10x - 68\right)}{(4x-5)^3} =
 =\frac{-32x^2+40x+40x-50 +32x^2-80x + 544}{(4x-5)^3} = \frac{494}{(4x-5)^3}
y''<0, для всех x < \frac{5}{4}
y''>0, для всех x > \frac{5}{4}
Значит на интервале \left(-\infty; \frac{5}{4}\right) - функция выпуклая \left(y''<0\right).
Значит на интервале \left(\frac{5}{4}; +\infty\right) - функция вогнутая \left(y''>0\right).
Точек перегиба нет.

Graf 3-6-1.gif