Условие задачи [ править ]
Тело массой
m
0
=
3000
{\displaystyle m_{0}=3000}
кг падает с высоты
H
{\displaystyle H}
м и теряет массу (сгорает) пропорционально времени падения. Коэффициент пропорциональности
k
=
100
{\displaystyle k=100}
кг/с2 . Считая, что начальная скорость
v
0
=
0
{\displaystyle v_{0}=0}
, ускорение
g
=
10
{\displaystyle g=10}
м/с2 , и пренебрегая сопротивлением воздуха найти наибольшую кинетическую энергию тела.
H
=
1280
{\displaystyle H=1280}
Масса тела в момент времени
t
{\displaystyle t}
:
m
=
m
0
−
k
t
.
{\displaystyle m=m_{0}-kt.}
Скорость тела в момент времени
t
{\displaystyle t}
:
v
=
g
t
.
{\displaystyle v=gt.}
Высота падения:
H
=
g
t
2
2
.
{\displaystyle H={\frac {gt^{2}}{2}}.}
Кинетическая энергия:
E
=
m
v
2
2
.
{\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}.}
Составляем функцию:
E
(
t
)
=
(
m
0
−
k
t
)
g
2
t
2
2
=
1
2
⋅
(
3000
−
100
t
)
⋅
10
2
⋅
t
2
=
10
4
2
⋅
(
30
t
2
−
t
3
)
.
{\displaystyle E(t)={\frac {(m_{0}-kt)g^{2}t^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \left(3000-100t\right)\cdot 10^{2}\cdot t^{2}={\frac {10^{4}}{2}}\cdot \left(30t^{2}-t^{3}\right).}
E
′
(
t
)
=
10
4
2
⋅
(
30
⋅
2
t
−
3
t
2
)
=
3
⋅
10
4
2
⋅
(
20
−
t
)
⋅
t
.
{\displaystyle E'(t)={\frac {10^{4}}{2}}\cdot \left(30\cdot 2t-3t^{2}\right)={\frac {3\cdot 10^{4}}{2}}\cdot \left(20-t\right)\cdot t.}
3
⋅
10
4
2
⋅
(
20
−
t
)
⋅
t
=
0
⟹
{
t
1
=
0
,
t
2
=
20.
{\displaystyle {\frac {3\cdot 10^{4}}{2}}\cdot \left(20-t\right)\cdot t=0\Longrightarrow {\begin{cases}t_{1}=0,\\t_{2}=20.\end{cases}}}
Так как производная
E
′
(
t
)
{\displaystyle E'(t)}
положительна на отрезке
[
0
;
20
]
{\displaystyle [0;\ 20]}
и в точке
t
2
=
20
{\displaystyle t_{2}=20}
меняет знак с «плюса» на «минус», то кинетическая энергия на отрезке
[
0
;
20
]
{\displaystyle [0;\ 20]}
возрастает и будет наибольшей при
t
=
20.
{\displaystyle t=20.}
Из формулы высоты падения тела, найдем время столкновения тела с поверхностью земли
t
y
{\displaystyle t_{y}}
:
H
=
g
t
y
2
2
⟹
t
y
=
2
H
g
=
2
⋅
1280
10
=
16.
{\displaystyle H={\frac {gt_{y}^{2}}{2}}\Longrightarrow t_{y}={\sqrt {\frac {2H}{g}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 1280}{10}}}=16.}
Так как
t
y
<
t
2
{\displaystyle t_{y}<t_{2}}
, то
E
m
a
x
=
E
(
t
y
)
.
{\displaystyle E_{max}=E(t_{y}).}
E
m
a
x
=
10
4
2
⋅
(
30
⋅
16
2
−
16
3
)
=
17
,
92
{\displaystyle E_{max}={\frac {10^{4}}{2}}\cdot \left(30\cdot 16^{2}-16^{3}\right)=17{,}92}
МДж.