Задача Кузнецов Графики 10-27

Условие задачи

Провести полное исследование функций и построить их графики.

$y=\ln {\left(\cos {x}-\sin {x}\right)}$

Решение

1) Область определения Функция определена при:

$\cos {x}-\sin {x}>0$

$\sin {x}<\cos {x}$

$x\in \left(-{\frac {3\pi }{4}}+2\pi n;\ {\frac {\pi }{4}}+2\pi n\right),\ n\in \mathbb {Z}$

Т.е. область определения функции:

$D(y)=\left(-{\frac {3\pi }{4}}+2\pi n;\ {\frac {\pi }{4}}+2\pi n\right),\ n\in \mathbb {Z}$

2) Четность и периодичность функции

Функция ни четная ни нечетная, т.к.:

$y(-x)=\ln {\left(\cos {(-x)}-\sin {(-x)}\right)}=\ln {\left(\cos {x}+\sin {x}\right)}\neq y(x)$

$T=2\pi$

Действительно:

$y\left(x+2\pi \right)=\ln {\left(\cos {\left(x+2\pi \right)}-\sin {\left(x+2\pi \right)}\right)}=\ln {\left(\cos {x}-\sin {x}\right)}=y(x)$

3) Пересечение с осями

$oy:\quad y(0)=0.$

Найдем пересечение с осью $ox$:

$y(x)=0$

$\ln {\left(\cos {x}-\sin {x}\right)}=0$

$\cos {x}-\sin {x}=1$

${\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}-{\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}+1}}=1$

$1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}-2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}=1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}$

$\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\left(\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}+1\right)=0$

$\left[{\begin{matrix}{\frac {x}{2}}=\operatorname {arctg} {0}+\pi n=\pi n,\ n\in \mathbb {Z} \\{\frac {x}{2}}=\operatorname {arctg} {(-1)}+\pi n=-{\frac {\pi }{4}}+\pi n,\ n\in \mathbb {Z} \end{matrix}}\right.$

$\left[{\begin{matrix}x=2\pi n,\ n\in \mathbb {Z} \\x=-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n,\ n\in \mathbb {Z} \end{matrix}}\right.$

4) Точки разрыва

Точек разрыва нет.

5) Асимптоты

а) Вертикальные:

$x=-{\frac {3\pi }{4}}+2\pi n;\ x={\frac {\pi }{4}}+2\pi n$ - вертикальные асимптоты, так как:

$\lim _{x\to \left(-{\frac {3\pi }{4}}+2\pi n\right)+}\ln {\left(\cos {x}-\sin {x}\right)}=\left\{\ln {\left(\cos {\left(-{\frac {3\pi }{4}}+2\pi n\right)}-\sin {\left(-{\frac {3\pi }{4}}+2\pi n\right)}\right)}=\ln {(0)}\right\}=-\infty$

$\lim _{x\to \left({\frac {\pi }{4}}+2\pi n\right)-}\ln {\left(\cos {x}-\sin {x}\right)}=\left\{\ln {\left(\cos {\left({\frac {\pi }{4}}+2\pi n\right)}-\sin {\left({\frac {\pi }{4}}+2\pi n\right)}\right)}=\ln {(0)}\right\}=-\infty$

б) Наклонные:

Наклонные отсутствуют, так как функция периодическая.

6) Точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности):

$y'=(\ln {(\cos {x}-\sin {x}}))'={\frac {1}{\cos {x}-\sin {x}}}\cdot (\cos {x}-\sin {x})'=-{\frac {\sin {x}+\cos {x}}{\cos {x}-\sin {x}}}.$

$y'=0,\quad x=-{\frac {\pi }{4}}+\pi n,\ n\in \mathbb {Z}$

$y'\not \exists ,\quad x={\frac {\pi }{4}}+\pi n,\ n\in \mathbb {Z}$

Поскольку функция периодическая, то достаточно рассмотреть на одном из периодов. Рассмотрим на отрезке $\left[-{\frac {3\pi }{4}};\ {\frac {5\pi }{4}}\right]$:

$x$	$-{\frac {3\pi }{4}}$	$\left(-{\frac {3\pi }{4}};\ -{\frac {\pi }{4}}\right)$	$-{\frac {\pi }{4}}$	$\left(-{\frac {\pi }{4}};\ {\frac {\pi }{4}}\right)$	${\frac {\pi }{4}}$	$\left({\frac {\pi }{4}};\ {\frac {3\pi }{4}}\right)$	${\frac {3\pi }{4}}$	$\left({\frac {3\pi }{4}};\ {\frac {5\pi }{4}}\right)$	${\frac {5\pi }{4}}$
$y'$	$\not \exists$	$+$	$0$	$-$	$\not \exists$	$+$	$0$	$-$	$\not \exists$
$y$	$\not \exists$	$\nearrow$	$\ln {\sqrt {2}}$	$\searrow$	$\not \exists$	$\not \exists$	$\not \exists$	$\not \exists$	$\not \exists$

Т.е. на интервале $\left(-{\frac {3\pi }{4}}+2\pi n;\ -{\frac {\pi }{4}}+2\pi n\right),\ n\in \mathbb {Z}$ - функция возрастает, а на $\left(-{\frac {\pi }{4}}+2\pi n;\ {\frac {\pi }{4}}+2\pi n\right),\ n\in \mathbb {Z}$ - убывает.

Точки $x=-{\frac {\pi }{4}}+2\pi n$ - точки локального максимума.

7) Точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости:

$y''=\left(-{\frac {\sin {x}+\cos {x}}{\cos {x}-\sin {x}}}\right)'=$

$=-{\frac {\left(\cos {x}-\sin {x}\right)\cdot \left(\cos {x}-\sin {x}\right)-\left(\sin {x}+\cos {x}\right)\cdot \left(-\sin {x}-\cos {x}\right)}{\left(\cos {x}-\sin {x}\right)^{2}}}=$

$=-{\frac {\left(\cos {x}-\sin {x}\right)^{2}+\left(\sin {x}+\cos {x}\right)^{2}}{\left(\cos {x}-\sin {x}\right)^{2}}}=$

$=-{\frac {\cos ^{2}{x}-2\cos {x}\cdot \sin {x}+\sin ^{2}{x}+\sin ^{2}{x}+2\sin {x}\cdot \cos {x}+\cos ^{2}{x}}{\left(\cos {x}-\sin {x}\right)^{2}}}=$

$=-{\frac {2}{\left(\cos {x}-\sin {x}\right)^{2}}}$

$y''\not \exists ,\quad x={\frac {\pi }{4}}+\pi n,\ n\in \mathbb {Z}$

Очевидно $y''(x)<0$ везде, где существует. Т.е. Функция $y(x)$ - выпуклая и точек перегиба нет.

8) График функции на отрезке $[-2\pi ;2\pi ]$: