Задача Кузнецов Графики 10-11

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Провести полное исследование функций и построить их графики.

<math>y=\ln{\left(\sin{x}-\cos{x}\right)}</math>

Решение

1) Область определения:

Так как логарифм определён для множества положительных чисел, то функция под логарифмом должна быть больше нуля:
<math>\sin x-\cos x>0\Rightarrow x\in \left( \frac{\pi }{4}+2\pi k;\frac{5\pi }{4}+2\pi k \right),k\in Z</math>

2) Вертикальные асимптоты:

Функция непрерывна на всей области определения. Проверим наличие вертикальных асимптот на границах ООФ:
<math>\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\ln (\sin x-\cos x)=\ln 0=-\infty </math>, таким образом, есть вертикальные асимптоты

<math>x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in Z</math>

3) Четность и периодичность функции:

Функция не является ни чётной ни нечётной, так как <math>y(-x)=\ln (-\sin x-\cos x)\ne -y(x)</math> при <math>\forall x\in </math> ООФ.
Функция периодическая с периодом <math>2\pi </math>.

4) Пересечение с осью OX:

<math>\ln (\sin x-\cos x)=0\Rightarrow \sin x-\cos x=1\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{\pi }{2}+2\pi k;{{x}_{2}}=\pi +2\pi k,k\in Z</math>

5) Точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности):

<math>y{{'}_{x}}={{\left( \ln (\sin x-\cos x) \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{\prime }}}{\sin x-\cos x}=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x}</math>
Определим критические точки, то есть точки, в которых <math>y{{'}_{x}}=0</math> или не существует.
<math>y{{'}_{x}}=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x}=0\Rightarrow \cos x+\sin x=0\Rightarrow x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z</math>
Таким образом, критические точки (для одного периода): <math>x=\frac{3\pi }{4}</math>.
Исследуем на монотонность:

Задача Кузнецов Графики 10-11, картинка1.png

При <math>x>\frac{3\pi }{4}</math> функция убывает; при <math>x<\frac{3\pi }{4}</math> функция возрастает.
Таким образом, <math>x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z</math> - точки максимума.

<math>y=\frac{\ln 2}{2}\approx \text{0}\text{.35}</math> - максимум функции.

Следовательно, область значений функции: <math>y\in \left( -\infty ;\frac{\ln 2}{2} \right]</math>

6) Точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости:

<math>\begin{align}
 & y'{{'}_{x}}={{\left( \frac{\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x} \right)}^{\prime }}=\frac{\left( \sin x-\cos x \right)\cdot {{\left( \cos x+\sin x \right)}^{\prime }}-{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{\prime }}\cdot \left( \cos x+\sin x \right)}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}= \\ 
& =\frac{-2}{{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}} \\ 

\end{align}</math>

Точки, подозрительные на перегиб:
<math>y'{{'}_{x}}=0\Rightarrow \frac{-2}{{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}}<0</math>, следовательно, на всей ООФ функция выпукла.

7) Наклонные, горизонтальные асимптоты:

<math>k=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{y(x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (\sin x-\cos x)}{x}</math> - нет решения, т.к. функция периодичная.
Таким образом, наклонных и горизонтальных асимптот нет. Наличие вертикальных асимптот описано в пункте 2.

8) График функции:

Задача Кузнецов Графики 10-11, картинка2.png