Задача Кузнецов Графики 10-11

Условие задачи

Провести полное исследование функций и построить их графики.

$y=\ln {\left(\sin {x}-\cos {x}\right)}$

Решение

1) Область определения:

Так как логарифм определён для множества положительных чисел, то функция под логарифмом должна быть больше нуля:

$\sin x-\cos x>0\Rightarrow x\in \left({\frac {\pi }{4}}+2\pi k;{\frac {5\pi }{4}}+2\pi k\right),k\in Z$

2) Вертикальные асимптоты:

Функция непрерывна на всей области определения. Проверим наличие вертикальных асимптот на границах ООФ:

${\underset {x\to {\frac {\pi }{4}}}{\mathop {\lim } }}\,\ln(\sin x-\cos x)=\ln 0=-\infty$, таким образом, есть вертикальные асимптоты

$x={\frac {\pi }{4}}+2\pi k,k\in Z$

3) Четность и периодичность функции:

Функция не является ни чётной ни нечётной, так как $y(-x)=\ln(-\sin x-\cos x)\neq -y(x)$ при $\forall x\in$ ООФ.

Функция периодическая с периодом $2\pi$.

4) Пересечение с осью OX:

$\ln(\sin x-\cos x)=0\Rightarrow \sin x-\cos x=1\Rightarrow {{x}_{1}}={\frac {\pi }{2}}+2\pi k;{{x}_{2}}=\pi +2\pi k,k\in Z$

5) Точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности):

$y{{'}_{x}}={{\left(\ln(\sin x-\cos x)\right)}^{\prime }}={\frac {{\left(\sin x-\cos x\right)}^{\prime }}{\sin x-\cos x}}={\frac {\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x}}$

Определим критические точки, то есть точки, в которых $y{{'}_{x}}=0$ или не существует.

$y{{'}_{x}}={\frac {\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x}}=0\Rightarrow \cos x+\sin x=0\Rightarrow x={\frac {3\pi }{4}}+2\pi k,k\in Z$

Таким образом, критические точки (для одного периода): $x={\frac {3\pi }{4}}$.

Исследуем на монотонность:

При $x>{\frac {3\pi }{4}}$ функция убывает; при $x<{\frac {3\pi }{4}}$ функция возрастает.

Таким образом, $x={\frac {3\pi }{4}}+2\pi k,k\in Z$ - точки максимума.

$y={\frac {\ln 2}{2}}\approx {\text{0}}{\text{.35}}$ - максимум функции.

Следовательно, область значений функции: $y\in \left(-\infty ;{\frac {\ln 2}{2}}\right]$

6) Точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости:

${\begin{aligned}&y'{{'}_{x}}={{\left({\frac {\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x}}\right)}^{\prime }}={\frac {\left(\sin x-\cos x\right)\cdot {{\left(\cos x+\sin x\right)}^{\prime }}-{{\left(\sin x-\cos x\right)}^{\prime }}\cdot \left(\cos x+\sin x\right)}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^{2}}}=\\&={\frac {-2}{{\left(\cos x-\sin x\right)}^{2}}}\\\end{aligned}}$

Точки, подозрительные на перегиб:

$y'{{'}_{x}}=0\Rightarrow {\frac {-2}{{\left(\cos x-\sin x\right)}^{2}}}<0$, следовательно, на всей ООФ функция выпукла.

7) Наклонные, горизонтальные асимптоты:

$k={\underset {x\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {y(x)}{x}}={\underset {x\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\ln(\sin x-\cos x)}{x}}$ - нет решения, т.к. функция периодичная.

Таким образом, наклонных и горизонтальных асимптот нет. Наличие вертикальных асимптот описано в пункте 2.

8) График функции: