Задача Кузнецов Графики 10-11

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Провести полное исследование функций и построить их графики.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=\ln{\left(\sin{x}-\cos{x}\right)}}

Решение[править]

1) Область определения:

Так как логарифм определён для множества положительных чисел, то функция под логарифмом должна быть больше нуля:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin x-\cos x>0\Rightarrow x\in \left( \frac{\pi }{4}+2\pi k;\frac{5\pi }{4}+2\pi k \right),k\in Z}

2) Вертикальные асимптоты:

Функция непрерывна на всей области определения. Проверим наличие вертикальных асимптот на границах ООФ:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\ln (\sin x-\cos x)=\ln 0=-\infty } , таким образом, есть вертикальные асимптоты

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in Z}

3) Четность и периодичность функции:

Функция не является ни чётной ни нечётной, так как Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(-x)=\ln (-\sin x-\cos x)\ne -y(x)} при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall x\in } ООФ.
Функция периодическая с периодом Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\pi } .

4) Пересечение с осью OX:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ln (\sin x-\cos x)=0\Rightarrow \sin x-\cos x=1\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{\pi }{2}+2\pi k;{{x}_{2}}=\pi +2\pi k,k\in Z}

5) Точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности):

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y{{'}_{x}}={{\left( \ln (\sin x-\cos x) \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{\prime }}}{\sin x-\cos x}=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x}}
Определим критические точки, то есть точки, в которых Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y{{'}_{x}}=0} или не существует.
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y{{'}_{x}}=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x}=0\Rightarrow \cos x+\sin x=0\Rightarrow x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z}
Таким образом, критические точки (для одного периода): Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=\frac{3\pi }{4}} .
Исследуем на монотонность:

Задача Кузнецов Графики 10-11, картинка1.png

При Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x>\frac{3\pi }{4}} функция убывает; при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x<\frac{3\pi }{4}} функция возрастает.
Таким образом, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z} - точки максимума.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=\frac{\ln 2}{2}\approx \text{0}\text{.35}} - максимум функции.

Следовательно, область значений функции: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y\in \left( -\infty ;\frac{\ln 2}{2} \right]}

6) Точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{align} & y'{{'}_{x}}={{\left( \frac{\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x} \right)}^{\prime }}=\frac{\left( \sin x-\cos x \right)\cdot {{\left( \cos x+\sin x \right)}^{\prime }}-{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{\prime }}\cdot \left( \cos x+\sin x \right)}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}= \\ & =\frac{-2}{{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}} \\ \end{align}}
Точки, подозрительные на перегиб:
Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y'{{'}_{x}}=0\Rightarrow \frac{-2}{{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}}<0} , следовательно, на всей ООФ функция выпукла.

7) Наклонные, горизонтальные асимптоты:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://pluspi.miraheze.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{y(x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (\sin x-\cos x)}{x}} - нет решения, т.к. функция периодичная.
Таким образом, наклонных и горизонтальных асимптот нет. Наличие вертикальных асимптот описано в пункте 2.

8) График функции:

Задача Кузнецов Графики 10-11, картинка2.png