Задача Кузнецов Графики 10-11

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи[править]

Провести полное исследование функций и построить их графики.

y=\ln{\left(\sin{x}-\cos{x}\right)}

Решение[править]

1) Область определения:

Так как логарифм определён для множества положительных чисел, то функция под логарифмом должна быть больше нуля:
\sin x-\cos x>0\Rightarrow x\in \left( \frac{\pi }{4}+2\pi k;\frac{5\pi }{4}+2\pi k \right),k\in Z

2) Вертикальные асимптоты:

Функция непрерывна на всей области определения. Проверим наличие вертикальных асимптот на границах ООФ:
\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\mathop{\lim }}\,\ln (\sin x-\cos x)=\ln 0=-\infty , таким образом, есть вертикальные асимптоты

x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in Z

3) Четность и периодичность функции:

Функция не является ни чётной ни нечётной, так как y(-x)=\ln (-\sin x-\cos x)\ne -y(x) при \forall x\in ООФ.
Функция периодическая с периодом 2\pi .

4) Пересечение с осью OX:

\ln (\sin x-\cos x)=0\Rightarrow \sin x-\cos x=1\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{\pi }{2}+2\pi k;{{x}_{2}}=\pi +2\pi k,k\in Z

5) Точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности):

y{{'}_{x}}={{\left( \ln (\sin x-\cos x) \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{\prime }}}{\sin x-\cos x}=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x}
Определим критические точки, то есть точки, в которых y{{'}_{x}}=0 или не существует.
y{{'}_{x}}=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x}=0\Rightarrow \cos x+\sin x=0\Rightarrow x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z
Таким образом, критические точки (для одного периода): x=\frac{3\pi }{4}.
Исследуем на монотонность:

Задача Кузнецов Графики 10-11, картинка1.png

При x>\frac{3\pi }{4} функция убывает; при x<\frac{3\pi }{4} функция возрастает.
Таким образом, x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z - точки максимума.

y=\frac{\ln 2}{2}\approx \text{0}\text{.35} - максимум функции.

Следовательно, область значений функции: y\in \left( -\infty ;\frac{\ln 2}{2} \right]

6) Точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости:

\begin{align}
  & y'{{'}_{x}}={{\left( \frac{\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x} \right)}^{\prime }}=\frac{\left( \sin x-\cos x \right)\cdot {{\left( \cos x+\sin x \right)}^{\prime }}-{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{\prime }}\cdot \left( \cos x+\sin x \right)}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}= \\ 
 & =\frac{-2}{{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}} \\ 
\end{align}
Точки, подозрительные на перегиб:
y'{{'}_{x}}=0\Rightarrow \frac{-2}{{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}}<0, следовательно, на всей ООФ функция выпукла.

7) Наклонные, горизонтальные асимптоты:

k=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{y(x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (\sin x-\cos x)}{x} - нет решения, т.к. функция периодичная.
Таким образом, наклонных и горизонтальных асимптот нет. Наличие вертикальных асимптот описано в пункте 2.

8) График функции:

Задача Кузнецов Графики 10-11, картинка2.png