Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-13

Условие задачи

Найти угол между плоскостями:

$3x-2y-2z-16=0$

$x+y-3z-7=0$

Решение

Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальные векторы заданных плоскостей:

${\vec {n_{1}}}=\left\{3;\ -2;\ -2\right\}$

${\vec {n_{2}}}=\left\{1;\ 1;\ -3\right\}$

Угол $\phi$ между плоскостями определяется формулой:

$\cos {\phi }={\frac {\left({\vec {n_{1}}},{\vec {n_{2}}}\right)}{|{\vec {n_{1}}}|\cdot |{\vec {n_{2}}}|}}={\frac {3\cdot 1+(-2)\cdot 1+(-2)\cdot (-3)}{{\sqrt {3^{2}+(-2)^{2}+(-2)^{2}}}\cdot {\sqrt {1^{2}+1^{2}+(-3)^{2}}}}}=$

$={\frac {3-2+6}{{\sqrt {9+4+4}}\cdot {\sqrt {1+1+9}}}}={\frac {7}{{\sqrt {17}}\cdot {\sqrt {11}}}}={\frac {7}{\sqrt {187}}}$

$\phi =\arccos {\frac {7}{\sqrt {187}}}\approx 59^{0}12'37''$