Задача Исследование функции 2

Условие задачи

Исследовать функцию:

$y=x^{3}\cdot (x+2)^{2}$

Решение

1) Область определения

$D(y)=(-\infty ;\ +\infty )$

2) Точки пересечения графика функции с осями координат:
С осью $Oy\ (x=0)$ в точке $(0;\ 0)$.
С осью $Ox\ (y=0)$:

$0=x^{3}\cdot (x+2)^{2}$

$x_{1}=0;\ x_{2}=-2$

Т.е. с осью $Ox$ пересечение в точках: $(0;\ 0)$ и $(-2;\ 0)$.
3) Функция ни четна, ни нечетна, т.к.:

$y(-x)=-x^{3}\cdot (2-x)^{2}\neq \pm y(x)$

4) Функция не является периодической.
5) Точек разрыва нет.
Вертикальных асимптот нет.
6) Интервалы возрастания и убывания.

$y'=3x^{2}\cdot (x+2)^{2}+x^{3}\cdot 2(x+2)=x^{2}\cdot \left(3x^{2}+12x+12+2x^{2}+4x\right)=$

$=x^{2}\cdot \left(5x^{2}+16x+12\right)=x^{2}\cdot 5(x+{\frac {6}{5}})\cdot (x+2)=x^{2}\cdot (5x+6)\cdot (x+2)$

$x$	$\left(-\infty ;\ -2\right)$	$-2$	$\left(-2;-{\frac {6}{5}}\right)$	$-{\frac {6}{5}}$	$\left(-{\frac {6}{5}};0\right)$	$0$	$\left(0;+\infty \right)$
$y'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$y$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	${\frac {232}{3125}}$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$

Функция возрастает на интервале: $\left(-\infty ;\ -2\right)\cup \left(-{\frac {6}{5}};+\infty \right)$.
Функция убывает на интервале: $\left(-2;-{\frac {6}{5}}\right)$.
Откуда $y=2$ - точка локального максимума, а $y=-{\frac {6}{5}}$ - точка локального минимума.
7)Интервалы выпуклости/вогнутости.

$y''=\left(x^{2}\cdot \left(5x^{2}+16x+12\right)\right)'=\left(5x^{4}+16x^{3}+12x^{2}\right)'=$

$=20x^{3}+48x^{2}+24x=4x\cdot \left(5x^{2}+12x+6\right)=20x\cdot \left(x+{\frac {6+{\sqrt {6}}}{5}}\right)\cdot \left(x+{\frac {6-{\sqrt {6}}}{5}}\right)$

$x$	$\left(-\infty ;\ -{\frac {6+{\sqrt {6}}}{5}}\right)$	$-{\frac {6+{\sqrt {6}}}{5}}$	$\left(-{\frac {6+{\sqrt {6}}}{5}};-{\frac {6-{\sqrt {6}}}{5}}\right)$	$-{\frac {6-{\sqrt {6}}}{5}}$	$\left(-{\frac {6-{\sqrt {6}}}{5}};0\right)$	$0$	$\left(0;+\infty \right)$
$y''$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

На интервале $\left(-\infty ;\ -{\frac {6+{\sqrt {6}}}{5}}\right)\cup \left(-{\frac {6-{\sqrt {6}}}{5}};0\right)$ - функция вогнута.
На интервале $\left(-{\frac {6+{\sqrt {6}}}{5}};-{\frac {6-{\sqrt {6}}}{5}}\right)\cup \left(0;+\infty \right)$ - функция выпукла.
Точки перегиба: $x=-{\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{5}};\ x=0$
8)Горизонтальные или наклонные асимптоты.

$y=k\cdot x+b$, где

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=k$

$\lim _{x\to +\infty }\left(f(x)-k\cdot x\right)=b$

Находим:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}\cdot (x+2)^{2}}{x}}=\lim _{x\to +\infty }x^{2}\cdot (x+2)^{2}=+\infty$

Наклонных асимптот нет.
9)Построение функции.