Задача Исследование функции 1

Условие задачи

Исследовать функцию:

$y=2x-\ln {x}$

Решение

1) Область определения

$D(y)=(0;\ +\infty )$

2) Точки пересечения графика функции с осями координат:
С осью $Oy\ (x=0)$ не пересекаются.
С осью $Ox\ (y=0)$:

$0=2x-\ln {x}$

$2x=\ln {x}$

Очевидно на интервале $(0;\ 1)$ графики функций $2x$ и $\ln {x}$ не пересекаются (первая положительна, а вторая отрицательна).
Так как $y'=2-{\frac {1}{x}}$ и $x\geq 1\Rightarrow y'(x)\geq 1$, то и при $x\geq 1$ пересечений нет.
А значит с осью $Ox$ тоже нет пересечений.
3) Функция ни четна, ни нечетна, т.к.:

$y(-x)=-2x-\ln {(-x)}\neq \pm y(x)$

4) Функция не является периодической.
5) Точек разрыва нет.
Вертикальные асимптота: $x=0$
6) Интервалы возрастания и убывания.

$y'=2-{\frac {1}{x}}$

$x$	$\left(0;\ {\frac {1}{2}}\right)$	${\frac {1}{2}}$	$\left({\frac {1}{2}};+\infty \right)$
$y'$	$-$	$0$	$+$
$y$	$\searrow$	$1+\ln {2}$	$\nearrow$

Функция убывает на интервале $\left(0;\ {\frac {1}{2}}\right)$.
Функция возрастает на интервале $\left({\frac {1}{2}};+\infty \right)$.
Откуда $y={\frac {1}{2}}$ - точка минимума
7)Интервалы выпуклости/вогнутости.

$y''={\frac {1}{x^{2}}}$

На интервале $(0;\ +\infty )$ - функция выпукла.
Точек перегиба нет.
8)Горизонтальные или наклонные асимптоты.

$y=k\cdot x+b$, где

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=k$

$\lim _{x\to +\infty }\left(f(x)-k\cdot x\right)=b$

Находим:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {2x-\ln {x}}{x}}=2-0=2$

$\lim _{x\to +\infty }\left(2x-\ln {x}-2\cdot x\right)=-\infty$

Наклонных асимптот нет.
9)Построение функции.