Условие задачи [ править ] Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеграл
∫
(
3
−
x
2
)
3
d
x
{\displaystyle \int \left(3-x^{2}\right)^{3}dx}
Воспользуемся формулой бинома Ньютона , и преобразуем подынтегральное выражение
∫
(
3
−
x
2
)
3
d
x
=
∫
(
3
)
3
+
3
⋅
(
3
)
2
⋅
(
−
x
2
)
+
3
⋅
3
⋅
(
−
x
2
)
2
+
(
−
x
2
)
3
d
x
=
∫
27
−
27
x
2
+
9
x
4
−
x
6
d
x
.
{\displaystyle \int \left(3-x^{2}\right)^{3}dx=\int (3)^{3}+3\cdot (3)^{2}\cdot (-x^{2})+3\cdot 3\cdot (-x^{2})^{2}+(-x^{2})^{3}dx=\int 27-27x^{2}+9x^{4}-x^{6}dx.}
Далее, воспользуемся свойствами интегралов и разложим полученное выражение на сумму интегралов. При этом постоянные множители вынесем за знак интеграла:
∫
27
−
27
x
2
+
9
x
4
−
x
6
d
x
=
27
∫
d
x
−
27
∫
x
2
d
x
+
9
∫
x
4
d
x
−
∫
x
6
d
x
.
{\displaystyle \int 27-27x^{2}+9x^{4}-x^{6}dx=27\int dx-27\int x^{2}dx+9\int x^{4}dx-\int x^{6}dx.}
Теперь воспользуемся таблицей простейших интегралов, и получим
27
∫
d
x
−
27
∫
x
2
d
x
+
9
∫
x
4
d
x
−
∫
x
6
d
x
=
27
x
−
27
⋅
1
3
x
3
+
9
⋅
1
5
x
5
−
1
7
x
7
+
C
=
27
x
−
9
x
3
+
9
5
x
5
−
1
7
x
7
+
C
,
{\displaystyle 27\int dx-27\int x^{2}dx+9\int x^{4}dx-\int x^{6}dx=27x-27\cdot {\frac {1}{3}}x^{3}+9\cdot {\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+C=27x-9x^{3}+{\frac {9}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+C,}
C
{\displaystyle C}
Таким образом,
∫
(
3
−
x
2
)
3
d
x
=
27
x
−
9
x
3
+
9
5
x
5
−
1
7
x
7
+
C
,
{\displaystyle \int \left(3-x^{2}\right)^{3}dx=27x-9x^{3}+{\frac {9}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+C,}
C
{\displaystyle C}
