Демидович. Задача 987.

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Доказать следующее правило дифференцирования определителя n-го порядка:

<math>\begin{vmatrix} f_{11}(x) & f_{12} (x) & \cdots & f_{1n}(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ f_{k1} (x) & f_{k2} (x) & \cdots & f_{kn} (x) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ f_{n1}(x) & f_{n2} (x) & \cdots & f_{nn}(x)\end{vmatrix} ' = \sum_{k=1}^n \begin{vmatrix} f_{11}(x) & f_{12} (x) & \cdots & f_{1n}(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ f_{k1}' (x) & f_{k2}' (x) & \cdots & f_{kn}' (x) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ f_{n1}(x) & f_{n2} (x) & \cdots & f_{nn}(x)\end{vmatrix}</math>

Решение

Обозначим исходную матрицу через <math>A</math>. По определению, <math>\left | A \right | = \sum_{ {\alpha }_1 {\alpha}_2 \cdots {\alpha}_n} f_{1 {\alpha}_1}(x) f_{2 {\alpha}_2} \cdots f_{n {\alpha}_n} \cdot \left ( -1 \right )^{S \left ( {\alpha}_1 {\alpha}_2 \cdots {\alpha}_n \right )}</math>

Рассмотрим следующую задачу: Дано <math>n</math> дифференцируемых функций <math>f_1(x),f_2(x),\cdots , f_n(x)</math>. Найти производную их произведения.

Эта задача решается следующим образом:

<math>\left (\prod_{i=1}^{n} f_i(x) \right )' = f_1'(x) \cdot \prod_{i=2}^{n} f_i(x) + f_1 (x) \cdot \left (\prod_{i=2}^{n} f_i(x) \right )'</math>. Продолжая процесс нахождения производной самого правого слагаемого, в конце концов получится, что искомая производная равна

<math>\left (\prod_{i=1}^{n} f_i(x) \right )' = f_1'(x)f_2(x) \cdots f_n(x) + f_1(x)f_2'(x) \cdots f_n(x) + \cdots + f_1(x)f_2(x)\cdots f_n'(x)</math>

Откуда производная определителя исходной матрицы равна <math>\left | A \right |' = \sum_{ {\alpha }_1 {\alpha}_2 \cdots {\alpha}_n} \left (f_{1 {\alpha}_1}'(x)f_{2 {\alpha}_2}(x) \cdots f_{n {\alpha}_n}(x) + f_{1 {\alpha}_1}(x)f_{2 {\alpha}_2}'(x) \cdots f_{n {\alpha}_n}(x) + \cdots +

+ f_{1 {\alpha}_1}(x)f_{2 {\alpha}_2}(x)\cdots f_{n {\alpha}_n}'(x)\right )\cdot \left ( -1 \right )^{S \left ( {\alpha}_1 {\alpha}_2 \cdots {\alpha}_n \right )}</math>

Очевидно, что полученное выражение как раз и равно по определению

<math>\left | A \right |' = \sum_{k=1}^n \begin{vmatrix} f_{11}(x) & f_{12} (x) & \cdots & f_{1n}(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ f_{k1}' (x) & f_{k2}' (x) & \cdots & f_{kn}' (x) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ f_{n1}(x) & f_{n2} (x) & \cdots & f_{nn}(x)\end{vmatrix}</math>.

Доказано.