Бобкова Дружининская Кратные интегралы Вариант 5 задача 9

Задача

Пластинка $D$ задана неравенствами

$D:x^{2}+{\frac {y^{2}}{25}}\leq 1,\ y\geq 0$.

$\mu =7x^{4}y$ - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Решение

Из приложения кратных интегралов известно, что масса тонкой пластинки $D$ с заданной плотностью $\mu$ определяется по формуле $m=\iint \limits _{D}\mu dxdy$. Из строения пластинки видим, что при изменении $x$ от $-1$ до $1$, $y$ меняется от $0$ до $5{\sqrt {1-x^{2}}}$. Следовательно,

$m=\iint \limits _{D}7x^{4}ydxdy=\int \limits _{-1}^{1}dx\int \limits _{0}^{5{\sqrt {1-x^{2}}}}7x^{4}ydy=\int \limits _{-1}^{1}{\frac {7x^{4}y^{2}}{2}}{\Biggr |}_{0}^{5{\sqrt {1-x^{2}}}}dx={\frac {7}{2}}\int \limits _{-1}^{1}x^{4}\left(\left(5{\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2}-0^{2}\right)dx=$

$={\frac {7}{2}}\int \limits _{-1}^{1}x^{4}\left(25-25x^{2}\right)dx={\frac {7}{2}}\int \limits _{-1}^{1}25x^{4}-25x^{6}dx={\frac {7}{2}}\left({\frac {25}{5}}x^{5}-{\frac {25}{7}}x^{7}\right){\Biggr |}_{-1}^{1}=$

$={\frac {7}{2}}\left({\frac {25}{5}}-{\frac {25}{7}}-\left(-{\frac {25}{5}}+{\frac {25}{7}}\right)\right)=12$.

Ответ: масса пластинки равна 12.