Бобкова Дружининская Кратные интегралы Вариант 5 задача 4

Материал из PlusPi

Задача[править]

Вычислить

.


Решение[править]

Данный тройной интеграл сведем к повторному. Из строения множества следует, что при изменении переменной от до , переменная меняется от до ; при этом при любых , переменная меняется от до . Следовательно,

.

Находим

.

Тогда

.

Воспользуемся заменой в определенном интеграле: полагаем ; тогда , откуда выражаем . При этом изменению переменной в пределах от до соответствует изменение переменной от до . Получаем

.

Следовательно,

Для вычисления интеграла в правой части равенства сделаем замену в определенном интеграле: полагаем ; тогда . Изменению переменной в пределах от до соответствует изменение переменной в пределах от до . Получаем

.