Вычислить
∭
V
y
2
cos
π
x
y
2
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \iiint \limits _{V}y^{2}\cos {\frac {\pi xy}{2}}dxdydz}
V
:
x
=
0
,
y
=
−
1
,
y
=
x
,
z
=
0
,
z
=
2
π
2
{\displaystyle V:x=0,\ y=-1,\ y=x,\ z=0,\ z=2\pi ^{2}}
.
Данный тройной интеграл сведем к повторному. Из строения множества
V
{\displaystyle V}
следует, что при изменении переменной
y
{\displaystyle y}
от
−
1
{\displaystyle -1}
до
0
{\displaystyle 0}
, переменная
x
{\displaystyle x}
меняется от
y
{\displaystyle y}
до
0
{\displaystyle 0}
; при этом при любых
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
переменная
z
{\displaystyle z}
меняется от
0
{\displaystyle 0}
до
2
π
2
{\displaystyle 2\pi ^{2}}
. Следовательно,
∭
V
y
2
cos
π
x
y
2
d
x
d
y
d
z
=
∫
−
1
0
d
y
∫
y
0
d
x
∫
0
2
π
2
y
2
cos
π
x
y
2
d
z
{\displaystyle \iiint \limits _{V}y^{2}\cos {\frac {\pi xy}{2}}dxdydz=\int \limits _{-1}^{0}dy\int \limits _{y}^{0}dx\int \limits _{0}^{2\pi ^{2}}y^{2}\cos {\frac {\pi xy}{2}}dz}
.
Находим
∫
0
2
π
2
y
2
cos
π
x
y
2
d
z
=
y
2
cos
π
x
y
2
z
|
0
2
π
2
=
y
2
cos
π
x
y
2
(
2
π
2
−
0
)
=
2
π
2
y
2
cos
π
x
y
2
{\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi ^{2}}y^{2}\cos {\frac {\pi xy}{2}}dz=y^{2}\cos {\frac {\pi xy}{2}}z{\Biggr |}_{0}^{2\pi ^{2}}=y^{2}\cos {\frac {\pi xy}{2}}(2\pi ^{2}-0)=2\pi ^{2}y^{2}\cos {\frac {\pi xy}{2}}}
.
Тогда
∫
y
0
d
x
∫
0
2
π
2
y
2
cos
π
x
y
2
d
z
=
∫
y
0
2
π
2
y
2
cos
π
x
y
2
d
x
{\displaystyle \int \limits _{y}^{0}dx\int \limits _{0}^{2\pi ^{2}}y^{2}\cos {\frac {\pi xy}{2}}dz=\int \limits _{y}^{0}2\pi ^{2}y^{2}\cos {\frac {\pi xy}{2}}dx}
.
Воспользуемся заменой в определенном интеграле: полагаем
t
=
π
x
y
2
{\displaystyle t={\frac {\pi xy}{2}}}
; тогда
d
t
=
π
y
2
d
x
{\displaystyle dt={\frac {\pi y}{2}}dx}
, откуда выражаем
d
x
=
2
d
t
π
y
{\displaystyle dx={\frac {2dt}{\pi y}}}
. При этом изменению переменной
x
{\displaystyle x}
в пределах от
y
{\displaystyle y}
до
0
{\displaystyle 0}
соответствует изменение переменной
t
{\displaystyle t}
от
π
y
2
2
{\displaystyle {\frac {\pi y^{2}}{2}}}
до
0
{\displaystyle 0}
. Получаем
∫
y
0
2
π
2
y
2
cos
π
x
y
2
d
x
=
∫
π
y
2
2
0
2
π
2
y
2
cos
t
⋅
2
d
t
π
y
=
4
π
y
∫
π
y
2
2
0
cos
t
d
t
=
{\displaystyle \int \limits _{y}^{0}2\pi ^{2}y^{2}\cos {\frac {\pi xy}{2}}dx=\int \limits _{\frac {\pi y^{2}}{2}}^{0}2\pi ^{2}y^{2}\cos {t}\cdot {\frac {2dt}{\pi y}}=4\pi y\int \limits _{\frac {\pi y^{2}}{2}}^{0}\cos {t}dt=}
=
4
π
y
sin
t
|
π
y
2
2
0
=
4
π
y
(
sin
0
−
sin
π
y
2
2
)
=
−
4
π
y
sin
π
y
2
2
{\displaystyle =4\pi y\sin {t}{\Biggr |}_{\frac {\pi y^{2}}{2}}^{0}=4\pi y\left(\sin {0}-\sin {\frac {\pi y^{2}}{2}}\right)=-4\pi y\sin {\frac {\pi y^{2}}{2}}}
.
Следовательно,
∫
−
1
0
d
y
∫
y
0
d
x
∫
0
2
π
2
y
2
cos
π
x
y
2
d
z
=
∫
−
1
0
−
4
π
y
sin
π
y
2
2
d
y
{\displaystyle \int \limits _{-1}^{0}dy\int \limits _{y}^{0}dx\int \limits _{0}^{2\pi ^{2}}y^{2}\cos {\frac {\pi xy}{2}}dz=\int \limits _{-1}^{0}-4\pi y\sin {\frac {\pi y^{2}}{2}}dy}
Для вычисления интеграла в правой части равенства сделаем замену в определенном интеграле: полагаем
t
=
π
y
2
2
{\displaystyle t={\frac {\pi y^{2}}{2}}}
; тогда
d
t
=
π
y
d
y
{\displaystyle dt=\pi ydy}
. Изменению переменной
y
{\displaystyle y}
в пределах от
−
1
{\displaystyle -1}
до
0
{\displaystyle 0}
соответствует изменение переменной
t
{\displaystyle t}
в пределах от
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
до
0
{\displaystyle 0}
. Получаем
∫
−
1
0
−
4
π
y
sin
π
y
2
2
d
y
=
∫
π
2
0
−
4
sin
t
d
t
=
4
cos
t
|
π
2
0
=
4
cos
0
−
4
cos
π
2
=
4
{\displaystyle \int \limits _{-1}^{0}-4\pi y\sin {\frac {\pi y^{2}}{2}}dy=\int \limits _{\frac {\pi }{2}}^{0}-4\sin {t}dt=4\cos {t}{\Biggr |}_{\frac {\pi }{2}}^{0}=4\cos {0}-4\cos {\frac {\pi }{2}}=4}
.