Бобкова Дружининская Кратные интегралы Вариант 5 задача 13

Задача

Найти объем тела $V$, заданного ограничивающими его поверхностями

$V:z={\frac {21}{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\ z={\frac {23}{2}}-x^{2}-y^{2}$.

Решение

Из приложения кратных интегралов известно, что объем тела V определяется по формуле $v=\iiint \limits _{V}dxdydz$.

Для данной задачи удобнее воспользоваться цилиндрической системой координат. В цилиндрических координатах уравнения ограничивающих поверхностей примут следующий вид:

$V:z={\frac {21}{2}}\rho ,\ z={\frac {23}{2}}-\rho ^{2}$.

Сама формула для вычисления объема тела запишется в виде $v=\iiint \limits _{V}\rho d\rho d\varphi dz$.

Поверхность $z={\frac {21}{2}}\rho$ является конусом, а поверхность $z={\frac {23}{2}}-\rho ^{2}$ - эллиптический параболоид, вершина которого находится в точке $(0,0,{\frac {23}{2}})$, и "ветви" которого направлены вниз. Найдем при каком $z$ данные поверхности пересекаются. Для этого находим $z$ и $\rho$ из системы уравнений

$\left\{{\begin{array}{c}z={\frac {21}{2}}\rho ;\\z={\frac {23}{2}}-\rho ^{2}.\end{array}}\right.$

Приравнивая $z$ в перовом и втором равенствах системы получаем квадратное уравнение ${\frac {21}{2}}\rho ={\frac {23}{2}}-\rho ^{2}$. Дискриминант для данного уравнения равен $D=\left({\frac {21}{2}}\right)^{2}-4\left(-{\frac {23}{2}}\right)={\frac {625}{4}}$. Следовательно, корнями данного уравнения являются $\rho ={\frac {-{\frac {21}{2}}-{\frac {25}{2}}}{2}}={\frac {-23}{2}}$ и $\rho ={\frac {-{\frac {21}{2}}+{\frac {25}{2}}}{2}}=1$. Поскольку $\rho$ - полярный радиус, то он должен быть больше нуля, то есть отрицательный корень нам не подходит. Таким образом, решением системы является $\rho =1$ и $z={\frac {21}{2}}$. Полученное решение следует интерпретировать следующим образом: при $0\leq z\leq {\frac {21}{2}}$ данное тело ограничено конусом, а при ${\frac {21}{2}}\leq z\leq {\frac {23}{2}}$ данное тело ограничено эллиптическим параболоидом. Следовательно, теперь можем свести кратный интеграл к повторным:

$v=\iiint \limits _{V}\rho d\rho d\varphi dz=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{1}d\rho \int \limits _{{\frac {21}{2}}\rho }^{{\frac {23}{2}}-\rho ^{2}}\rho dz=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{1}\rho z{\Biggr |}_{{\frac {21}{2}}\rho }^{{\frac {23}{2}}-\rho ^{2}}d\rho =\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{1}\rho \left({\frac {23}{2}}-\rho ^{2}-{\frac {21}{2}}\rho \right)d\rho =$

$=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{1}{\frac {23}{2}}\rho -\rho ^{3}-{\frac {21}{2}}\rho ^{2}d\rho =\int \limits _{0}^{2\pi }\left({\frac {23}{4}}\rho ^{2}-{\frac {1}{4}}\rho ^{4}-{\frac {21}{6}}\rho ^{3}\right){\Biggr |}_{0}^{1}d\varphi =\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {23}{4}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {21}{6}}d\varphi =2\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi =2\varphi {\Biggr |}_{0}^{2\pi }=4\pi$.

Ответ: объем тела равен $4\pi$.