Zadacha Kuznecov Integraly 19-21

Материал из PlusPi
Перейти к: навигация, поиск

Условие задачи

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

<math>\rho = 2\varphi,\; 0 \le \varphi \le \frac{5}{12}</math>

Решение

Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах, определяется формулой

<math>L=\int\limits_{\varphi_0}^{\varphi_1}\sqrt{(\rho(\varphi))^2+(\rho'(\varphi))^2}d\varphi</math>

Для кривой, заданной уравнением <math>\rho = 2\varphi</math>, найдем: <math>\rho' = 2</math>


Получаем:

<math>\begin{align}

L & = \int\limits_{0}^{5/12} \sqrt{\left(2\varphi\right)^2 + 2^2}d\varphi = \\ & =

      2 \int\limits_{0}^{5/12} \sqrt{\varphi^2+1}\;d\varphi = ^{(1)} \\ & =
      2 \left( \frac{\varphi}{2}\sqrt{\varphi^2+1}\biggr|_{0}^{5/12} + 
               \frac{1}{2} \ln\left|\varphi + \sqrt{\varphi^2+1} \right|\biggr|_{0}^{5/12} \right) = \\ & =
      2 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{12} \sqrt{\frac{25}{144}+1} - 0 \right)
    + 2 \left( \frac{1}{2} \ln\left|\frac{5}{12} + \sqrt{\frac{25}{144}+1}\right|-\ln\left|0 + \sqrt{0+1}\right| \right) = \\ & =
               \frac{5}{12} \cdot \sqrt{\frac{169}{144}}
    + 2 \left( \frac{1}{2} \ln\left|\frac{5}{12} + \sqrt{\frac{169}{144}}\right| - 0 \right) = \\ & =
               \frac{5}{12} \cdot \frac{13}{12} + \ln\left|\frac{5}{12} + \frac{13}{12}\right| = 
               \frac{65}{144} + \ln \frac{3}{2}

\end{align}</math>



В <math>(1)</math> мы использовали формулу: <math>\int \sqrt{x^2+a^2}\;dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right| </math>